MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrscl Unicode version

Theorem acsdrscl 14322
Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
acsdrscl  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )

Proof of Theorem acsdrscl
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5592 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  X  e.  dom ACS )
2 pwexg 4231 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom ACS  ->  ~P X  e.  _V )
3 elpw2g 4211 . . . . 5  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( Y  e.  ~P ~P X 
<->  Y  C_  ~P X
) )
41, 2, 33syl 18 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( Y  e.  ~P ~P X  <->  Y  C_  ~P X ) )
54biimpar 471 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  Y  e.  ~P ~P X )
6 isacs3lem 14318 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
7 acsdrscl.f . . . . . . 7  |-  F  =  (mrCls `  C )
87isacs4lem 14320 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )  -> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) ) )
96, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) ) )
109simprd 449 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t )  =  U. ( F " t ) ) )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )
12 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  (toInc `  t )  =  (toInc `  Y ) )
1312eleq1d 2382 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
(toInc `  t )  e. Dirset  <-> 
(toInc `  Y )  e. Dirset ) )
14 unieq 3873 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  U. t  =  U. Y )
1514fveq2d 5567 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  ( F `  U. t )  =  ( F `  U. Y ) )
16 imaeq2 5045 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  ( F " t )  =  ( F " Y
) )
1716unieqd 3875 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  U. ( F " t )  = 
U. ( F " Y ) )
1815, 17eqeq12d 2330 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
( F `  U. t )  =  U. ( F " t )  <-> 
( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) ) )
1913, 18imbi12d 311 . . . 4  |-  ( t  =  Y  ->  (
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  <-> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) ) )
2019rspcva 2916 . . 3  |-  ( ( Y  e.  ~P ~P X  /\  A. t  e. 
~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )  ->  ( (toInc `  Y )  e. Dirset  ->  ( F `  U. Y
)  =  U. ( F " Y ) ) )
215, 11, 20syl2anc 642 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  -> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) )
22213impia 1148 1  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   dom cdm 4726   "cima 4729   ` cfv 5292  Moorecmre 13533  mrClscmrc 13534  ACScacs 13536  Dirsetcdrs 14110  toInccipo 14303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ocomp 13276  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-preset 14111  df-drs 14112  df-poset 14129  df-ipo 14304
  Copyright terms: Public domain W3C validator