MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Structured version   Unicode version

Theorem acsficl 14628
Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
acsficl  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( F `  S )  =  U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5786 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  X  e.  dom ACS )
2 elpw2g 4392 . . . 4  |-  ( X  e.  dom ACS  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S  C_  X
) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S  C_  X
) )
43biimpar 473 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  ~P X )
5 isacs3lem 14623 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6 acsdrscl.f . . . . . 6  |-  F  =  (mrCls `  C )
76isacs4lem 14625 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )  -> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) ) )
86isacs5lem 14626 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
95, 7, 83syl 19 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
109simprd 451 . . 3  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `
 s )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
1110adantr 453 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `
 s )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
12 fveq2 5757 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( F `  s )  =  ( F `  S ) )
13 pweq 3826 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
1413ineq1d 3527 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( ~P s  i^i  Fin )  =  ( ~P S  i^i  Fin ) )
1514imaeq2d 5232 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  ( F " ( ~P S  i^i  Fin )
) )
1615unieqd 4050 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) )  = 
U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )
1712, 16eqeq12d 2456 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( F `  s
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) )  <->  ( F `  S )  =  U. ( F " ( ~P S  i^i  Fin )
) ) )
1817rspcva 3056 . 2  |-  ( ( S  e.  ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  S )  =  U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )
194, 11, 18syl2anc 644 1  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( F `  S )  =  U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711    i^i cin 3305    C_ wss 3306   ~Pcpw 3823   U.cuni 4039   dom cdm 4907   "cima 4910   ` cfv 5483   Fincfn 7138  Moorecmre 13838  mrClscmrc 13839  ACScacs 13841  Dirsetcdrs 14415  toInccipo 14608
This theorem is referenced by:  acsficld  14632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ocomp 13581  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-preset 14416  df-drs 14417  df-poset 14434  df-ipo 14609
  Copyright terms: Public domain W3C validator