MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Unicode version

Theorem acsficl 14556
Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
acsficl  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( F `  S )  =  U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5720 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  X  e.  dom ACS )
2 elpw2g 4327 . . . 4  |-  ( X  e.  dom ACS  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S  C_  X
) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( S  e.  ~P X  <->  S  C_  X
) )
43biimpar 472 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  ~P X )
5 isacs3lem 14551 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
6 acsdrscl.f . . . . . 6  |-  F  =  (mrCls `  C )
76isacs4lem 14553 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )  -> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) ) )
86isacs5lem 14554 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
95, 7, 83syl 19 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
109simprd 450 . . 3  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `
 s )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
1110adantr 452 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `
 s )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
12 fveq2 5691 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( F `  s )  =  ( F `  S ) )
13 pweq 3766 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
1413ineq1d 3505 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( ~P s  i^i  Fin )  =  ( ~P S  i^i  Fin ) )
1514imaeq2d 5166 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  ( F " ( ~P S  i^i  Fin )
) )
1615unieqd 3990 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) )  = 
U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )
1712, 16eqeq12d 2422 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( F `  s
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) )  <->  ( F `  S )  =  U. ( F " ( ~P S  i^i  Fin )
) ) )
1817rspcva 3014 . 2  |-  ( ( S  e.  ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  S )  =  U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )
194, 11, 18syl2anc 643 1  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( F `  S )  =  U. ( F "
( ~P S  i^i  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   U.cuni 3979   dom cdm 4841   "cima 4844   ` cfv 5417   Fincfn 7072  Moorecmre 13766  mrClscmrc 13767  ACScacs 13769  Dirsetcdrs 14343  toInccipo 14536
This theorem is referenced by:  acsficld  14560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ocomp 13509  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-preset 14344  df-drs 14345  df-poset 14362  df-ipo 14537
  Copyright terms: Public domain W3C validator