Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl2d Structured version   Unicode version

Theorem acsficl2d 14607
 Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 14602. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsficld.1 ACS
acsficld.2 mrCls
acsficld.3
Assertion
Ref Expression
acsficl2d
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem acsficl2d
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsficld.1 . . . 4 ACS
2 acsficld.2 . . . 4 mrCls
3 acsficld.3 . . . 4
41, 2, 3acsficld 14606 . . 3
54eleq2d 2505 . 2
61acsmred 13886 . . 3 Moore
7 funmpt 5492 . . . 4
82mrcfval 13838 . . . . 5 Moore
98funeqd 5478 . . . 4 Moore
107, 9mpbiri 226 . . 3 Moore
11 eluniima 6000 . . 3
126, 10, 113syl 19 . 2
135, 12bitrd 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  crab 2711   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017  cint 4052   cmpt 4269  cima 4884   wfun 5451  cfv 5457  cfn 7112  Moorecmre 13812  mrClscmrc 13813  ACScacs 13815 This theorem is referenced by:  acsfiindd  14608  acsmapd  14609 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ocomp 13555  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-preset 14390  df-drs 14391  df-poset 14408  df-ipo 14583
 Copyright terms: Public domain W3C validator