MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl2d Structured version   Unicode version

Theorem acsficl2d 14607
Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 14602. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsficld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsficld.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsficld.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsficl2d  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, S    x, Y    x, N
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    X( x)

Proof of Theorem acsficl2d
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsficld.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsficld.2 . . . 4  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsficld.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
41, 2, 3acsficld 14606 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin ) ) )
54eleq2d 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <-> 
Y  e.  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin ) ) ) )
61acsmred 13886 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
7 funmpt 5492 . . . 4  |-  Fun  (
z  e.  ~P X  |-> 
|^| { w  e.  A  |  z  C_  w }
)
82mrcfval 13838 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  N  =  ( z  e.  ~P X  |->  |^| { w  e.  A  |  z  C_  w } ) )
98funeqd 5478 . . . 4  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  ( Fun  N  <->  Fun  ( z  e.  ~P X  |->  |^| { w  e.  A  |  z  C_  w } ) ) )
107, 9mpbiri 226 . . 3  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  Fun  N )
11 eluniima 6000 . . 3  |-  ( Fun 
N  ->  ( Y  e.  U. ( N "
( ~P S  i^i  Fin ) )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
126, 10, 113syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin )
)  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x )
) )
135, 12bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|cint 4052    e. cmpt 4269   "cima 4884   Fun wfun 5451   ` cfv 5457   Fincfn 7112  Moorecmre 13812  mrClscmrc 13813  ACScacs 13815
This theorem is referenced by:  acsfiindd  14608  acsmapd  14609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ocomp 13555  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-preset 14390  df-drs 14391  df-poset 14408  df-ipo 14583
  Copyright terms: Public domain W3C validator