MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl2d Unicode version

Theorem acsficl2d 14565
Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 14560. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsficld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsficld.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsficld.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
acsficl2d  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, S    x, Y    x, N
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    X( x)

Proof of Theorem acsficl2d
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsficld.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsficld.2 . . . 4  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsficld.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
41, 2, 3acsficld 14564 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin ) ) )
54eleq2d 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <-> 
Y  e.  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin ) ) ) )
61acsmred 13844 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
7 funmpt 5456 . . . 4  |-  Fun  (
z  e.  ~P X  |-> 
|^| { w  e.  A  |  z  C_  w }
)
82mrcfval 13796 . . . . 5  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  N  =  ( z  e.  ~P X  |->  |^| { w  e.  A  |  z  C_  w } ) )
98funeqd 5442 . . . 4  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  ( Fun  N  <->  Fun  ( z  e.  ~P X  |->  |^| { w  e.  A  |  z  C_  w } ) ) )
107, 9mpbiri 225 . . 3  |-  ( A  e.  (Moore `  X
)  ->  Fun  N )
11 eluniima 5964 . . 3  |-  ( Fun 
N  ->  ( Y  e.  U. ( N "
( ~P S  i^i  Fin ) )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
126, 10, 113syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  U. ( N " ( ~P S  i^i  Fin )
)  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x )
) )
135, 12bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( N `  S )  <->  E. x  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) Y  e.  ( N `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675   {crab 2678    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   U.cuni 3983   |^|cint 4018    e. cmpt 4234   "cima 4848   Fun wfun 5415   ` cfv 5421   Fincfn 7076  Moorecmre 13770  mrClscmrc 13771  ACScacs 13773
This theorem is referenced by:  acsfiindd  14566  acsmapd  14567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ocomp 13513  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-preset 14348  df-drs 14349  df-poset 14366  df-ipo 14541
  Copyright terms: Public domain W3C validator