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Theorem acsfn 13660
Description: Algebraicity of a conditional point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Distinct variable groups:    K, a    T, a    V, a    X, a

Proof of Theorem acsfn
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5372 . . . . . . 7  |-  Fun  (
b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2 funiunfv 5861 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c )  =  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
) )
31, 2mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U. ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) "
( ~P a  i^i 
Fin ) ) )
4 inss1 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
~P a
54sseli 3252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  e.  ~P a )
6 elpwi 3709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P a  -> 
c  C_  a )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  C_  a )
8 elpwi 3709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
97, 8sylan9ssr 3269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  C_  X )
10 vex 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
_V
1110elpw 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P X  <->  c  C_  X )
129, 11sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  e.  ~P X )
1312adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  c  e.  ~P X )
14 eqeq1 2364 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
b  =  T  <->  c  =  T ) )
1514ifbid 3659 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
16 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  =  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
17 snex 4297 . . . . . . . . . 10  |-  { K }  e.  _V
18 0ex 4231 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
1917, 18ifex 3699 . . . . . . . . 9  |-  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  _V
2015, 16, 19fvmpt 5685 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P X  -> 
( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c
)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2113, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2221iuneq2dv 4007 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
233, 22eqtr3d 2392 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2423sseq1d 3281 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a  <->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
25 iunss 4024 . . . . 5  |-  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
)
26 sseq1 3275 . . . . . . . . . 10  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  ( { K }  C_  a  <->  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
) )
2726bibi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  (
( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
28 sseq1 3275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( (/)  C_  a  <->  if (
c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
2928bibi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
)  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
30 snssg 3830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  X  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a ) )
3130adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a
) )
32 biimt 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  T  ->  ( K  e.  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3332adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <-> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3431, 33bitr3d 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
35 0ss 3559 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  a
3635a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  c  =  T  ->  (/)  C_  a )
37 pm2.21 100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) )
3836, 372thd 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3938adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  -.  c  =  T
)  ->  ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
4027, 29, 34, 39ifbothda 3671 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  X  ->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
4140ralbidv 2639 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4241adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4342ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4425, 43syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
45 sspwb 4305 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  X  <->  ~P a  C_ 
~P X )
468, 45sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  ->  ~P a  C_  ~P X
)
474, 46syl5ss 3266 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( ~P a  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
4847adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X )
49 ralss 3315 . . . . . 6  |-  ( ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X  -> 
( A. c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  (
c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
5048, 49syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
51 bi2.04 350 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5251ralbii 2643 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
53 elpwg 3708 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( T  e.  ~P X  <->  T 
C_  X ) )
5453biimparc 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin )  ->  T  e.  ~P X
)
5554ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  ~P X )
56 eleq1 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
5756imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  T  ->  (
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5857ceqsralv 2891 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P X  -> 
( A. c  e. 
~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5955, 58syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
6052, 59syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
61 vex 2867 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
6261elpw2 4256 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P a  <->  T  C_  a
)
63 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  Fin )
6463biantrud 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) ) )
65 elin 3434 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) )
6664, 65syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
6762, 66syl5rbbr 251 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  T  C_  a
) )
6867imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
6950, 60, 683bitrd 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
7024, 44, 693bitrrd 271 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  C_  a  ->  K  e.  a )  <->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a ) )
7170rabbidva 2855 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  =  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a } )
72 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  X  e.  V )
73 snelpwi 4301 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  { K }  e.  ~P X
)
7473ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { K }  e.  ~P X )
75 0elpw 4261 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P X
76 ifcl 3677 . . . . . 6  |-  ( ( { K }  e.  ~P X  /\  (/)  e.  ~P X )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7774, 75, 76sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7877adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  b  e.  ~P X
)  ->  if (
b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X
)
7978, 16fmptd 5767 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  -> 
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)
80 isacs1i 13658 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a }  e.  (ACS `  X )
)
8172, 79, 80syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a }  e.  (ACS `  X ) )
8271, 81eqeltrd 2432 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   {crab 2623    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ifcif 3641   ~Pcpw 3701   {csn 3716   U.cuni 3908   U_ciun 3986    e. cmpt 4158   "cima 4774   Fun wfun 5331   -->wf 5333   ` cfv 5337   Fincfn 6951  ACScacs 13586
This theorem is referenced by:  acsfn0  13661  acsfn1  13662  acsfn2  13664  acsfn1p  26830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fv 5345  df-mre 13587  df-acs 13590
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