MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1 Unicode version

Theorem acsfn1 13579
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b, V    X, a, b    E, a
Allowed substitution hint:    E( b)

Proof of Theorem acsfn1
StepHypRef Expression
1 elpwi 3646 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3252 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
4 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
54snss 3761 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  a  <->  { b }  C_  a )
65imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
76ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  X  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
83, 7syl6bb 252 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
98rabbiia 2791 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
10 riinrab 3993 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
119, 10eqtr4i 2319 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )
12 mreacs 13576 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
14 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  X  e.  V )
15 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  E  e.  X )
16 snssi 3775 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  X  ->  { b }  C_  X )
1716ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  C_  X )
18 snfi 6957 . . . . . . . 8  |-  { b }  e.  Fin
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  e.  Fin )
20 acsfn 13577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
b }  C_  X  /\  { b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2221ex 423 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
2322ralimdva 2634 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
2423imp 418 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
25 mreriincl 13516 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS
`  X ) )
2613, 24, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X )
)
2711, 26syl5eqel 2380 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   |^|_ciin 3922   ` cfv 5271   Fincfn 6879  Moorecmre 13500  ACScacs 13503
This theorem is referenced by:  acsfn1c  13580  subgacs  14668  sdrgacs  27612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-en 6880  df-fin 6883  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507
  Copyright terms: Public domain W3C validator