MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1 Unicode version

Theorem acsfn1 13563
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b, V    X, a, b    E, a
Allowed substitution hint:    E( b)

Proof of Theorem acsfn1
StepHypRef Expression
1 elpwi 3633 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3239 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
4 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
54snss 3748 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  a  <->  { b }  C_  a )
65imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
76ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  X  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
83, 7syl6bb 252 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
98rabbiia 2778 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
10 riinrab 3977 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
119, 10eqtr4i 2306 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )
12 mreacs 13560 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
14 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  X  e.  V )
15 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  E  e.  X )
16 snssi 3759 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  X  ->  { b }  C_  X )
1716ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  C_  X )
18 snfi 6941 . . . . . . . 8  |-  { b }  e.  Fin
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  e.  Fin )
20 acsfn 13561 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
b }  C_  X  /\  { b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2221ex 423 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
2322ralimdva 2621 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
2423imp 418 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
25 mreriincl 13500 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS
`  X ) )
2613, 24, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X )
)
2711, 26syl5eqel 2367 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   |^|_ciin 3906   ` cfv 5255   Fincfn 6863  Moorecmre 13484  ACScacs 13487
This theorem is referenced by:  acsfn1c  13564  subgacs  14652  sdrgacs  27509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-en 6864  df-fin 6867  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491
  Copyright terms: Public domain W3C validator