MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1 Structured version   Unicode version

Theorem acsfn1 13879
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b, V    X, a, b    E, a
Allowed substitution hint:    E( b)

Proof of Theorem acsfn1
StepHypRef Expression
1 elpwi 3800 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3402 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
4 vex 2952 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
54snss 3919 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  a  <->  { b }  C_  a )
65imbi1i 316 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
76ralbii 2722 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  X  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) )
83, 7syl6bb 253 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
98rabbiia 2939 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
10 riinrab 4159 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
119, 10eqtr4i 2459 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )
12 mreacs 13876 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
14 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  X  e.  V )
15 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  E  e.  X )
16 snssi 3935 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  X  ->  { b }  C_  X )
1716ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  C_  X )
18 snfi 7180 . . . . . . . 8  |-  { b }  e.  Fin
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { b }  e.  Fin )
20 acsfn 13877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
b }  C_  X  /\  { b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
2221ex 424 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
2322ralimdva 2777 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
2423imp 419 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
25 mreriincl 13816 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS
`  X ) )
2613, 24, 25syl2anc 643 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X )
)
2711, 26syl5eqel 2520 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2698   {crab 2702    i^i cin 3312    C_ wss 3313   ~Pcpw 3792   {csn 3807   |^|_ciin 4087   ` cfv 5447   Fincfn 7102  Moorecmre 13800  ACScacs 13803
This theorem is referenced by:  acsfn1c  13880  subgacs  14968  sdrgacs  27478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-1o 6717  df-en 7103  df-fin 7106  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807
  Copyright terms: Public domain W3C validator