MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1c Structured version   Unicode version

Theorem acsfn1c 13879
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1c  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    K, a,
b, c    V, a,
b, c    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn1c
StepHypRef Expression
1 riinrab 4158 . 2  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }
2 mreacs 13875 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
4 acsfn1 13878 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
54ex 424 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
65ralimdv 2777 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  K  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X
) ) )
76imp 419 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )
8 mreriincl 13815 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  K  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS
`  X ) )
93, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  K  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  a  E  e.  a } )  e.  (ACS `  X )
)
101, 9syl5eqelr 2520 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  K  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  K  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    i^i cin 3311   ~Pcpw 3791   |^|_ciin 4086   ` cfv 5446  Moorecmre 13799  ACScacs 13802
This theorem is referenced by:  nsgacs  14968  lssacs  16035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-en 7102  df-fin 7105  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator