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Theorem acsfn2 13565
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, V    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 3633 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3239 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a ) ) )
3 ralss 3239 . . . . . . . 8  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. c  e.  a 
( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) ) )
4 r19.21v 2630 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  a  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )
)
5 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
6 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
7 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  e. 
_V
86, 7prss 3769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  <->  { c ,  b } 
C_  a )
98imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
105, 9bitr3i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
1110ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  X  (
c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
123, 4, 113bitr3g 278 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  X  ->  (
( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1312ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
142, 13bitrd 244 . . . . 5  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
151, 14syl 15 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1615rabbiia 2778 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }
17 riinrab 3977 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
1816, 17eqtr4i 2306 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) } )
19 mreacs 13560 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
2019adantr 451 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
21 riinrab 3977 . . . . . . 7  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
2219ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
23 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  X  e.  V )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  E  e.  X )
25 prssi 3771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2625ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2726ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  C_  X )
28 prfi 7131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { c ,  b }  e.  Fin
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  e.  Fin )
30 acsfn 13561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
c ,  b } 
C_  X  /\  {
c ,  b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3123, 24, 27, 29, 30syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
3231expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  c  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) ) )
3332ralimdva 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3433imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
35 mreriincl 13500 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. c  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3622, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3721, 36syl5eqelr 2368 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3837ex 423 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3938ralimdva 2621 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
4039imp 418 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
41 mreriincl 13500 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4220, 40, 41syl2anc 642 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4318, 42syl5eqel 2367 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   |^|_ciin 3906   ` cfv 5255   Fincfn 6863  Moorecmre 13484  ACScacs 13487
This theorem is referenced by:  submacs  14442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491
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