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Theorem acsfn2 13881
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, V    X, a,
b, c    E, a
Allowed substitution hints:    E( b, c)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 3800 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
2 ralss 3402 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a ) ) )
3 ralss 3402 . . . . . . . 8  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. c  e.  a 
( b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) ) )
4 r19.21v 2786 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  a  (
b  e.  a  ->  E  e.  a )  <->  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )
)
5 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( c  e.  a  ->  ( b  e.  a  ->  E  e.  a ) ) )
6 vex 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
7 vex 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  b  e. 
_V
86, 7prss 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  <->  { c ,  b } 
C_  a )
98imbi1i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  a  /\  b  e.  a )  ->  E  e.  a )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
105, 9bitr3i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
1110ralbii 2722 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  X  (
c  e.  a  -> 
( b  e.  a  ->  E  e.  a ) )  <->  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) )
123, 4, 113bitr3g 279 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  X  ->  (
( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1312ralbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( b  e.  a  ->  A. c  e.  a  E  e.  a )  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
142, 13bitrd 245 . . . . 5  |-  ( a 
C_  X  ->  ( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a  <->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) ) )
1615rabbiia 2939 . . 3  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }
17 riinrab 4159 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
1816, 17eqtr4i 2459 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  =  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) } )
19 mreacs 13876 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
2019adantr 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
21 riinrab 4159 . . . . . . 7  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
2219ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
23 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  X  e.  V )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  E  e.  X )
25 prssi 3947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2625ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  { c ,  b }  C_  X )
2726ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  C_  X )
28 prfi 7374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { c ,  b }  e.  Fin
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { c ,  b }  e.  Fin )
30 acsfn 13877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
c ,  b } 
C_  X  /\  {
c ,  b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3123, 24, 27, 29, 30syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  ( c  e.  X  /\  E  e.  X ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
3231expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  c  e.  X )  ->  ( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) ) )
3332ralimdva 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3433imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
35 mreriincl 13816 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. c  e.  X  { a  e. 
~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3622, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ c  e.  X  { a  e.  ~P X  |  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
3721, 36syl5eqelr 2521 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X
)  /\  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
3837ex 424 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  X )  ->  ( A. c  e.  X  E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( {
c ,  b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3938ralimdva 2777 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X  ->  A. b  e.  X  {
a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
4039imp 419 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  A. b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )
41 mreriincl 13816 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  X  { a  e. 
~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4220, 40, 41syl2anc 643 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  X  { a  e.  ~P X  |  A. c  e.  X  ( { c ,  b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X ) )
4318, 42syl5eqel 2520 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  a  A. c  e.  a  E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2698   {crab 2702    i^i cin 3312    C_ wss 3313   ~Pcpw 3792   {cpr 3808   |^|_ciin 4087   ` cfv 5447   Fincfn 7102  Moorecmre 13800  ACScacs 13803
This theorem is referenced by:  submacs  14758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-fin 7106  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807
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