MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsinfdimd Structured version   Unicode version

Theorem acsinfdimd 14609
Description: In an algebraic closure system, if two independent sets have equal closure and one is infinite, then they are equinumerous. This is proven by using acsdomd 14608 twice with acsinfd 14607. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsinfdimd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsinfdimd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsinfdimd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsinfdimd.4  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
acsinfdimd.5  |-  ( ph  ->  T  e.  I )
acsinfdimd.6  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
acsinfdimd.7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
acsinfdimd  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )

Proof of Theorem acsinfdimd
StepHypRef Expression
1 acsinfdimd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsinfdimd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsinfdimd.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
4 acsinfdimd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
51acsmred 13882 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
6 acsinfdimd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  I )
73, 5, 6mrissd 13862 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
8 acsinfdimd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
9 acsinfdimd.7 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
101, 2, 3, 4, 7, 8, 9acsdomd 14608 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )
113, 5, 4mrissd 13862 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
128eqcomd 2442 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  T
)  =  ( N `
 S ) )
131, 2, 3, 4, 7, 8, 9acsinfd 14607 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  Fin )
141, 2, 3, 6, 11, 12, 13acsdomd 14608 . 2  |-  ( ph  ->  T  ~<_  S )
15 sbth 7228 . 2  |-  ( ( S  ~<_  T  /\  T  ~<_  S )  ->  S  ~~  T )
1610, 14, 15syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455    ~~ cen 7107    ~<_ cdom 7108   Fincfn 7110  mrClscmrc 13809  mrIndcmri 13810  ACScacs 13811
This theorem is referenced by:  acsexdimd  14610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-reg 7561  ax-inf2 7597  ax-ac2 8344  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-r1 7691  df-rank 7692  df-card 7827  df-acn 7830  df-ac 7998  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ocomp 13551  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-mri 13814  df-acs 13815  df-preset 14386  df-drs 14387  df-poset 14404  df-ipo 14579
  Copyright terms: Public domain W3C validator