MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmre Unicode version

Theorem acsmre 13554
Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsmre  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )

Proof of Theorem acsmre
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 13553 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P s  i^i 
Fin ) )  C_  s ) ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863  Moorecmre 13484  ACScacs 13487
This theorem is referenced by:  acsfiel  13556  acsmred  13558  mreacs  13560  isacs3lem  14269  gsumwspan  14468  cycsubg2  14654  cycsubg2cl  14655  odf1o1  14883  lsmmod  14984  cntzspan  15137  gsumzsplit  15206  gsumzoppg  15216  gsumpt  15222  dmdprdd  15237  dprdfeq0  15257  dprdspan  15262  dprdres  15263  dprdss  15264  dprdz  15265  subgdmdprd  15269  subgdprd  15270  dprdsn  15271  dprd2dlem1  15276  dprd2da  15277  dmdprdsplit2lem  15280  ablfac1b  15305  pgpfac1lem1  15309  pgpfac1lem2  15310  pgpfac1lem3a  15311  pgpfac1lem3  15312  pgpfac1lem4  15313  pgpfac1lem5  15314  pgpfaclem1  15316  pgpfaclem2  15317  isnacs2  26781  isnacs3  26785  symggen  27411  proot1mul  27515  proot1hash  27519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-acs 13491
  Copyright terms: Public domain W3C validator