MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmre Unicode version

Theorem acsmre 13570
Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsmre  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )

Proof of Theorem acsmre
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 13569 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P s  i^i 
Fin ) )  C_  s ) ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271   Fincfn 6879  Moorecmre 13500  ACScacs 13503
This theorem is referenced by:  acsfiel  13572  acsmred  13574  mreacs  13576  isacs3lem  14285  gsumwspan  14484  cycsubg2  14670  cycsubg2cl  14671  odf1o1  14899  lsmmod  15000  cntzspan  15153  gsumzsplit  15222  gsumzoppg  15232  gsumpt  15238  dmdprdd  15253  dprdfeq0  15273  dprdspan  15278  dprdres  15279  dprdss  15280  dprdz  15281  subgdmdprd  15285  subgdprd  15286  dprdsn  15287  dprd2dlem1  15292  dprd2da  15293  dmdprdsplit2lem  15296  ablfac1b  15321  pgpfac1lem1  15325  pgpfac1lem2  15326  pgpfac1lem3a  15327  pgpfac1lem3  15328  pgpfac1lem4  15329  pgpfac1lem5  15330  pgpfaclem1  15332  pgpfaclem2  15333  isnacs2  26884  isnacs3  26888  symggen  27514  proot1mul  27618  proot1hash  27622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-acs 13507
  Copyright terms: Public domain W3C validator