Theorem add20 5614

Description: Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
add20	|- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 <-> (A = 0 /\ B = 0)))

Proof of Theorem add20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
2		lt.2	. . . . . . . . 9 |- B e. RR
3	1, 2	readdcl 5346	. . . . . . . 8 |- (A + B) e. RR
4		0re 5452	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
5	3, 4	lttri3 5585	. . . . . . 7 |- ((A + B) = 0 <-> (-. (A + B) < 0 /\ -. 0 < (A + B)))
6	5	pm3.27bi 326	. . . . . 6 |- ((A + B) = 0 -> -. 0 < (A + B))
7	1, 2	addgt0 5610	. . . . . 6 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A + B))
8	6, 7	nsyl3 119	. . . . 5 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> -. (A + B) = 0)
9	8	pm2.21d 78	. . . 4 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
10		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> (0 + B) = (A + B))
11	2	recn 5326	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
12	11	addid2 5343	. . . . . . . 8 |- (0 + B) = B
13	10, 12	syl5eqr 1524	. . . . . . 7 |- (0 = A -> B = (A + B))
14	13	eqeq1d 1486	. . . . . 6 |- (0 = A -> (B = 0 <-> (A + B) = 0))
15	14	biimprd 154	. . . . 5 |- (0 = A -> ((A + B) = 0 -> B = 0))
16		eqcom 1480	. . . . . 6 |- (0 = A <-> A = 0)
17	16	biimp 151	. . . . 5 |- (0 = A -> A = 0)
18	15, 17	jctild 603	. . . 4 |- (0 = A -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
19		opreq2 3975	. . . . . . . 8 |- (0 = B -> (A + 0) = (A + B))
20	1	recn 5326	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
21	20	addid1 5342	. . . . . . . 8 |- (A + 0) = A
22	19, 21	syl5eqr 1524	. . . . . . 7 |- (0 = B -> A = (A + B))
23	22	eqeq1d 1486	. . . . . 6 |- (0 = B -> (A = 0 <-> (A + B) = 0))
24	23	biimprd 154	. . . . 5 |- (0 = B -> ((A + B) = 0 -> A = 0))
25		eqcom 1480	. . . . . 6 |- (0 = B <-> B = 0)
26	25	biimp 151	. . . . 5 |- (0 = B -> B = 0)
27	24, 26	jctird 604	. . . 4 |- (0 = B -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
28	9, 18, 27	ccase2 759	. . 3 |- (((0 < A \/ 0 = A) /\ (0 < B \/ 0 = B)) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
29	4, 1	leloe 5587	. . 3 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
30	4, 2	leloe 5587	. . 3 |- (0 <_ B <-> (0 < B \/ 0 = B))
31	28, 29, 30	syl2anb 457	. 2 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
32		opreq1 3974	. . 3 |- (A = 0 -> (A + B) = (0 + B))
33		opreq2 3975	. . . 4 |- (B = 0 -> (0 + B) = (0 + 0))
34		0cn 5340	. . . . 5 |- 0 e. CC
35	34	addid1 5342	. . . 4 |- (0 + 0) = 0
36	33, 35	syl6eq 1526	. . 3 |- (B = 0 -> (0 + B) = 0)
37	32, 36	sylan9eq 1530	. 2 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + B) = 0)
38	31, 37	impbid1 519	1 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 <-> (A = 0 /\ B = 0)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   <_ cle 5307   < clt 5498

This theorem is referenced by:  abs00 6842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

Copyright terms: Public domain