Theorem addasspq 5075

Description: Addition of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasspq.1	|- B e. V
addasspq.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasspq	|- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Proof of Theorem addasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5050	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		addpipq 5066	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
3		addpipq 5066	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q )
4		addpipq 5066	. . 3 |- (((((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)), ((y .N w) .N u)>.] ~Q )
5		addpipq 5066	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
6		addclpi 5032	. . . . . 6 |- (((x .N w) e. N. /\ (y .N z) e. N.) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
7		mulclpi 5033	. . . . . 6 |- ((x e. N. /\ w e. N.) -> (x .N w) e. N.)
8		mulclpi 5033	. . . . . 6 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y .N z) e. N.)
9	6, 7, 8	syl2an 456	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ w e. N.) /\ (y e. N. /\ z e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
10	9	an42s 511	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
11		mulclpi 5033	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
12	11	ad2ant2l 410	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
13	10, 12	jca 288	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
14		addclpi 5032	. . . . . 6 |- (((z .N u) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
15		mulclpi 5033	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ u e. N.) -> (z .N u) e. N.)
16		mulclpi 5033	. . . . . 6 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
17	14, 15, 16	syl2an 456	. . . . 5 |- (((z e. N. /\ u e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
18	17	an42s 511	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
19		mulclpi 5033	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ u e. N.) -> (w .N u) e. N.)
20	19	ad2ant2l 410	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N u) e. N.)
21	18, 20	jca 288	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
22		oprex 3989	. . . . 5 |- (y .N (z .N u)) e. V
23		oprex 3989	. . . . 5 |- (y .N (w .N v)) e. V
24	22, 23	addasspi 5035	. . . 4 |- (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
25		visset 1816	. . . . . 6 |- x e. V
26		visset 1816	. . . . . 6 |- y e. V
27		visset 1816	. . . . . 6 |- w e. V
28		visset 1816	. . . . . . 7 |- f e. V
29		visset 1816	. . . . . . 7 |- g e. V
30	28, 29	mulcompi 5036	. . . . . 6 |- (f .N g) = (g .N f)
31		visset 1816	. . . . . . 7 |- h e. V
32	29, 31	distrpi 5038	. . . . . 6 |- (f .N (g +N h)) = ((f .N g) +N (f .N h))
33		visset 1816	. . . . . 6 |- z e. V
34		visset 1816	. . . . . 6 |- u e. V
35	29, 31	mulasspi 5037	. . . . . 6 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
36	25, 26, 27, 30, 32, 33, 34, 35	caoprdilem 4074	. . . . 5 |- (((x .N w) +N (y .N z)) .N u) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u)))
37		visset 1816	. . . . . 6 |- v e. V
38	27, 37	mulasspi 5037	. . . . 5 |- ((y .N w) .N v) = (y .N (w .N v))
39	36, 38	opreq12i 3979	. . . 4 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v)))
40		oprex 3989	. . . . . 6 |- (z .N u) e. V
41		oprex 3989	. . . . . 6 |- (w .N v) e. V
42	40, 41	distrpi 5038	. . . . 5 |- (y .N ((z .N u) +N (w .N v))) = ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v)))
43	42	opreq2i 3978	. . . 4 |- ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
44	24, 39, 43	3eqtr4 1508	. . 3 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v))))
45	27, 34	mulasspi 5037	. . 3 |- ((y .N w) .N u) = (y .N (w .N u))
46	1, 2, 3, 4, 5, 13, 21, 44, 45	ecoprass 4326	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
47		addasspq.1	. . 3 |- B e. V
48		dmaddpq 5071	. . 3 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
49		addasspq.2	. . 3 |- C e. V
50		0npq 5062	. . 3 |- -. (/) e. Q.
51	47, 48, 49, 50	ndmoprass 4054	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
52	46, 51	pm2.61i 126	1 |- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  N.cnpi 4984   +N cpli 4985   .N cmi 4986   ~Q ceq 4990  Q.cnq 4991   +Q cplq 4993

This theorem is referenced by:  ltaddpq 5091  ltbtwnpq 5096  addasspr 5136  prlem934a 5149  ltexprlem7 5160

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-plpq 5047  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051

Copyright terms: Public domain