Theorem addasssr 5209

Description: Addition of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasssr.1	|- B e. V
addasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasssr	|- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Proof of Theorem addasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5179	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		addsrpr 5196	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
3		addsrpr 5196	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R )
4		addsrpr 5196	. . 3 |- ((((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((x +P. z) +P. v), ((y +P. w) +P. u)>.] ~R )
5		addsrpr 5196	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R ) = [<.(x +P. (z +P. v)), (y +P. (w +P. u))>.] ~R )
6		addclpr 5132	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x +P. z) e. P.)
7		addclpr 5132	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y +P. w) e. P.)
8	6, 7	anim12i 333	. . . 4 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
9	8	an4s 510	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
10		addclpr 5132	. . . . 5 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z +P. v) e. P.)
11		addclpr 5132	. . . . 5 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w +P. u) e. P.)
12	10, 11	anim12i 333	. . . 4 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
13	12	an4s 510	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
14		visset 1816	. . . 4 |- z e. V
15		visset 1816	. . . 4 |- v e. V
16	14, 15	addasspr 5136	. . 3 |- ((x +P. z) +P. v) = (x +P. (z +P. v))
17		visset 1816	. . . 4 |- w e. V
18		visset 1816	. . . 4 |- u e. V
19	17, 18	addasspr 5136	. . 3 |- ((y +P. w) +P. u) = (y +P. (w +P. u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4326	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
21		addasssr.1	. . 3 |- B e. V
22		dmaddsr 5206	. . 3 |- dom +R = (R. X. R.)
23		addasssr.2	. . 3 |- C e. V
24		0nsr 5200	. . 3 |- -. (/) e. R.
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 4054	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
26	20, 25	pm2.61i 126	1 |- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  P.cnp 4997   +P. cpp 4999   ~R cer 5004  R.cnr 5005   +R cplr 5009

This theorem is referenced by:  supsrlem2 5238  axaddass 5289  axmulass 5290  axdistr 5291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180

Copyright terms: Public domain