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Theorem addassv 25656
Description: Vector addition is associative. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
addcomv.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
addassv  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w B ) + w C )  =  ( A + w ( B + w C ) ) )

Proof of Theorem addassv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcomv.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
21isaddrv 25646 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A + w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) ) )
323adant3r3 1162 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) )
43oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w B ) + w C )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) ) + w C ) )
5 simpl 443 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
6 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
7 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
8 cnex 8818 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
9 ffvelrnb 25131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( ( A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  x )  e.  CC ) )
107, 8, 9mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  x )  e.  CC )
116, 10sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  x )  e.  CC )
12 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
13 ffvelrnb 25131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( ( B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  x )  e.  CC ) )
147, 8, 13mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  x )  e.  CC )
1512, 14sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  x )  e.  CC )
1611, 15addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  x
)  +  ( B `
 x ) )  e.  CC )
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) )
1816, 17fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  +  ( B `
 x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
198, 7pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( CC  e.  _V  /\  (
1 ... N )  e. 
_V )
20 elmapg 6785 . . . . 5  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
2119, 20mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
2218, 21mpbird 223 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  +  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )
23 simpr3 963 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
241isaddrv 25646 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  +  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) + w C )  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) ) `
 y )  +  ( C `  y
) ) ) )
255, 22, 23, 24syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) ) + w C )  =  ( y  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) `  y )  +  ( C `  y ) ) ) )
26 ffvelrnb 25131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( ( C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  x )  e.  CC ) )
277, 8, 26mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  x )  e.  CC )
2823, 27sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  x )  e.  CC )
2915, 28addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  x
)  +  ( C `
 x ) )  e.  CC )
30 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 x )  +  ( C `  x
) ) )
3129, 30fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x
)  +  ( C `
 x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
32 elmapg 6785 . . . . . 6  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 x )  +  ( C `  x
) ) )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
3319, 32mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
3431, 33mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x
)  +  ( C `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )
351isaddrv 25646 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x
)  +  ( C `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( A + w ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 x )  +  ( C `  x
) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 x )  +  ( C `  x
) ) ) `  y ) ) ) )
365, 6, 34, 35syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) `
 y ) ) ) )
371isaddrv 25646 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( B + w C )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) )
38373adant3r1 1160 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( B + w C )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 x )  +  ( C `  x
) ) ) )
3938oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( B + w C ) )  =  ( A + w ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) ) )
40 ffvelrnb 25131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( ( A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  y )  e.  CC ) )
417, 8, 40mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  y )  e.  CC )
4241ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  y
)  e.  CC ) )
43423ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( A `  y )  e.  CC ) )
4443adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  y
)  e.  CC ) )
4544imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  y )  e.  CC )
46 ffvelrnb 25131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( ( B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  y )  e.  CC ) )
477, 8, 46mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  y )  e.  CC )
4847ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  y
)  e.  CC ) )
49483ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( B `  y )  e.  CC ) )
5049adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  y
)  e.  CC ) )
5150imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  y )  e.  CC )
52 ffvelrnb 25131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  -> 
( ( C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  y )  e.  CC ) )
537, 8, 52mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  y )  e.  CC )
5453ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( C `  y
)  e.  CC ) )
55543ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( C `  y )  e.  CC ) )
5655adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( C `  y
)  e.  CC ) )
5756imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  y )  e.  CC )
5845, 51, 57addassd 8857 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  y )  +  ( B `  y ) )  +  ( C `
 y ) )  =  ( ( A `
 y )  +  ( ( B `  y )  +  ( C `  y ) ) ) )
59 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  y  e.  ( 1 ... N
) )
60 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( A `  y )  +  ( B `  y ) )  e. 
_V
61 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A `  x )  =  ( A `  y ) )
62 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( B `  x )  =  ( B `  y ) )
6361, 62oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A `  x
)  +  ( B `
 x ) )  =  ( ( A `
 y )  +  ( B `  y
) ) )
6463, 17fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... N )  /\  ( ( A `  y )  +  ( B `  y ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) `  y )  =  ( ( A `  y
)  +  ( B `
 y ) ) )
6564oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... N )  /\  ( ( A `  y )  +  ( B `  y ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x )  +  ( B `  x ) ) ) `
 y )  +  ( C `  y
) )  =  ( ( ( A `  y )  +  ( B `  y ) )  +  ( C `
 y ) ) )
6659, 60, 65sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) `  y )  +  ( C `  y ) )  =  ( ( ( A `  y
)  +  ( B `
 y ) )  +  ( C `  y ) ) )
67 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( B `  y )  +  ( C `  y ) )  e. 
_V
68 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( C `  x )  =  ( C `  y ) )
6962, 68oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( B `  x
)  +  ( C `
 x ) )  =  ( ( B `
 y )  +  ( C `  y
) ) )
7069, 30fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... N )  /\  ( ( B `  y )  +  ( C `  y ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 x )  +  ( C `  x
) ) ) `  y )  =  ( ( B `  y
)  +  ( C `
 y ) ) )
7170oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... N )  /\  ( ( B `  y )  +  ( C `  y ) )  e.  _V )  ->  ( ( A `  y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) `  y
) )  =  ( ( A `  y
)  +  ( ( B `  y )  +  ( C `  y ) ) ) )
7259, 67, 71sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  y
)  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x
)  +  ( C `
 x ) ) ) `  y ) )  =  ( ( A `  y )  +  ( ( B `
 y )  +  ( C `  y
) ) ) )
7358, 66, 723eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) `  y )  +  ( C `  y ) )  =  ( ( A `  y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x )  +  ( C `  x ) ) ) `
 y ) ) )
7473mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) `  y )  +  ( C `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  y
)  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  x
)  +  ( C `
 x ) ) ) `  y ) ) ) )
7536, 39, 743eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  +  ( B `  x
) ) ) `  y )  +  ( C `  y ) ) )  =  ( A + w ( B + w C ) ) )
764, 25, 753eqtrd 2319 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w B ) + w C )  =  ( A + w ( B + w C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   ...cfz 10782    + cvcplcv 25644
This theorem is referenced by:  addcanri  25666  addcanrg  25667  negveud  25668  negveudr  25669  tcnvec  25690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-addcl 8797  ax-addass 8802
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-addcv 25645
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