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Theorem addcanri 25769
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
addcanri.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
addcanri.2  |-  N  e.  NN
addcanri.3  |-  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )
addcanri.4  |-  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )
addcanri.5  |-  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )
Assertion
Ref Expression
addcanri  |-  ( ( A + w B
)  =  ( A + w C )  <-> 
B  =  C )

Proof of Theorem addcanri
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcanri.3 . . . 4  |-  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )
2 addcanri.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0 cv `  N )  =  ( 0 cv
`  N )
4 addcanri.2 . . . . 5  |-  N  e.  NN
52, 3, 4cnegvex2 25763 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( x + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )
6 addcanri.5 . . . . . . 7  |-  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )
7 addcanri.4 . . . . . . 7  |-  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )
8 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A + w B
)  =  ( A + w C )  ->  ( x + w ( A + w B ) )  =  ( x + w
( A + w C ) ) )
983ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( A + w B )  =  ( A + w C
) )  ->  (
x + w ( A + w B ) )  =  ( x + w ( A + w C ) ) )
10 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
11 simpl3 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
12 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
1310, 11, 123jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
14133adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( A + w B )  =  ( A + w C
) )  ->  (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
152addassv 25759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x + w A ) + w B )  =  ( x + w ( A + w B ) ) )
164, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( A + w B )  =  ( A + w C
) )  ->  (
( x + w A ) + w B )  =  ( x + w ( A + w B ) ) )
17 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
1810, 11, 173jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
19183adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( A + w B )  =  ( A + w C
) )  ->  (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
202addassv 25759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x + w A ) + w C )  =  ( x + w ( A + w C ) ) )
214, 19, 20sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( A + w B )  =  ( A + w C
) )  ->  (
( x + w A ) + w C )  =  ( x + w ( A + w C ) ) )
229, 16, 213eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  ( A + w B )  =  ( A + w C
) )  ->  (
( x + w A ) + w B )  =  ( ( x + w A ) + w C ) )
23223exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( ( A + w B )  =  ( A + w C )  ->  (
( x + w A ) + w B )  =  ( ( x + w A ) + w C ) ) ) )
246, 7, 1, 23mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A + w B )  =  ( A + w C
)  ->  ( (
x + w A
) + w B
)  =  ( ( x + w A
) + w C
) ) )
25 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 cv `  N
)  =  ( x + w A )  ->  ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  ( ( x + w A ) + w B ) )
26 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 cv `  N
)  =  ( x + w A )  ->  ( ( 0 cv `  N ) + w C )  =  ( ( x + w A ) + w C ) )
2725, 26eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 cv `  N
)  =  ( x + w A )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  ( ( 0 cv `  N
) + w C
)  <->  ( ( x + w A ) + w B )  =  ( ( x + w A ) + w C ) ) )
2827eqcoms 2299 . . . . . . 7  |-  ( ( x + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  ( ( 0 cv `  N
) + w C
)  <->  ( ( x + w A ) + w B )  =  ( ( x + w A ) + w C ) ) )
2928imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( ( x + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( ( A + w B
)  =  ( A + w C )  ->  ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N ) + w C ) )  <->  ( ( A + w B )  =  ( A + w C )  ->  (
( x + w A ) + w B )  =  ( ( x + w A ) + w C ) ) ) )
3024, 29syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( ( A + w B )  =  ( A + w C )  ->  (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  ( ( 0 cv `  N
) + w C
) ) ) )
3130rexlimiv 2674 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( A + w B )  =  ( A + w C )  ->  (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  ( ( 0 cv `  N
) + w C
) ) )
321, 5, 31mp2b 9 . . 3  |-  ( ( A + w B
)  =  ( A + w C )  ->  ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N ) + w C ) )
333, 2addidv2 25760 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )
344, 7, 33mp2an 653 . . 3  |-  ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B
353, 2addidv2 25760 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) + w C )  =  C )
364, 6, 35mp2an 653 . . 3  |-  ( ( 0 cv `  N
) + w C
)  =  C
3732, 34, 363eqtr3g 2351 . 2  |-  ( ( A + w B
)  =  ( A + w C )  ->  B  =  C )
38 oveq2 5882 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A + w B )  =  ( A + w C ) )
3937, 38impbii 180 1  |-  ( ( A + w B
)  =  ( A + w C )  <-> 
B  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751   1c1 8754   NNcn 9762   ...cfz 10798    + cvcplcv 25747   0 cvc0cv 25753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-addcv 25748  df-nullcv 25754
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