Theorem addclpq 5070

Description: Closure of addition on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
addclpq	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. Q.)

Proof of Theorem addclpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5050	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		opreq1 3974	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = (A +Q [<.z, w>.] ~Q ))
3	2	eleq1d 1543	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> (([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ) <-> (A +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q )))
4		opreq2 3975	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> (A +Q [<.z, w>.] ~Q ) = (A +Q B))
5	4	eleq1d 1543	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((A +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ) <-> (A +Q B) e. ((N. X. N.)/. ~Q )))
6		addpipq 5066	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
7		addclpi 5032	. . . . . . . 8 |- (((x .N w) e. N. /\ (y .N z) e. N.) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
8		mulclpi 5033	. . . . . . . 8 |- ((x e. N. /\ w e. N.) -> (x .N w) e. N.)
9		mulclpi 5033	. . . . . . . 8 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y .N z) e. N.)
10	7, 8, 9	syl2an 456	. . . . . . 7 |- (((x e. N. /\ w e. N.) /\ (y e. N. /\ z e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
11	10	an42s 511	. . . . . 6 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
12		mulclpi 5033	. . . . . . 7 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
13	12	ad2ant2l 410	. . . . . 6 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
14	11, 13	jca 288	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
15		opelxpi 3223	. . . . 5 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.) -> <.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>. e. (N. X. N.))
16		enqex 5060	. . . . . 6 |- ~Q e. V
17	16	ecelqsi 4298	. . . . 5 |- (<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>. e. (N. X. N.) -> [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
18	14, 15, 17	3syl 20	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
19	6, 18	eqeltrd 1551	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 4310	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
21	20, 1	syl6eleqr 1562	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415   X. cxp 3174  (class class class)co 3969  [cec 4265  /.cqs 4266  N.cnpi 4984   +N cpli 4985   .N cmi 4986   ~Q ceq 4990  Q.cnq 4991   +Q cplq 4993

This theorem is referenced by:  dmaddpq 5071  ltbtwnpq 5096  addclprlem2 5131  addclpr 5132  prlem936 5167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-plpq 5047  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051

Copyright terms: Public domain