Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcn2 Unicode version

 Description: Complex number addition is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (We write out the definition directly because df-cn 16957 and df-cncf 18382 are not yet available to us. See addcn 18369 for the abbreviated version.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,

StepHypRef Expression
1 rphalfcl 10378 . . 3
3 simprl 732 . . . . . . . 8
4 simpl2 959 . . . . . . . 8
5 simprr 733 . . . . . . . 8
63, 4, 5pnpcan2d 9195 . . . . . . 7
76fveq2d 5529 . . . . . 6
87breq1d 4033 . . . . 5
9 simpl3 960 . . . . . . . 8
104, 5, 9pnpcand 9194 . . . . . . 7
1110fveq2d 5529 . . . . . 6
1211breq1d 4033 . . . . 5
138, 12anbi12d 691 . . . 4
14 addcl 8819 . . . . . 6
1514adantl 452 . . . . 5
164, 9addcld 8854 . . . . 5
174, 5addcld 8854 . . . . 5
18 simpl1 958 . . . . . 6
1918rpred 10390 . . . . 5
20 abs3lem 11822 . . . . 5
2115, 16, 17, 19, 20syl22anc 1183 . . . 4
2213, 21sylbird 226 . . 3
2322ralrimivva 2635 . 2
24 breq2 4027 . . . . . 6
2524anbi1d 685 . . . . 5
2625imbi1d 308 . . . 4
27262ralbidv 2585 . . 3
28 breq2 4027 . . . . . 6
2928anbi2d 684 . . . . 5
3029imbi1d 308 . . . 4
31302ralbidv 2585 . . 3
3227, 31rspc2ev 2892 . 2
332, 2, 23, 32syl3anc 1182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736   caddc 8740   clt 8867   cmin 9037   cdiv 9423  c2 9795  crp 10354  cabs 11719 This theorem is referenced by:  subcn2  12068  climadd  12105  rlimadd  12116  addcn  18369 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
 Copyright terms: Public domain W3C validator