MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcnlem Structured version   Unicode version

Theorem addcnlem 18925
Description: Lemma for addcn 18926, subcn 18927, and mulcn 18928. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
addcn.2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
addcn.3  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
Assertion
Ref Expression
addcnlem  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, u, v, y, z, J    .+ , a, b, c, u, v, y, z

Proof of Theorem addcnlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 addcn.3 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
323coml 1161 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
4 ifcl 3799 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  e.  RR+ )
54adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  e.  RR+ )
6 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  b  e.  CC )
7 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
8 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 18836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( b  -  u
) ) )
10 abssub 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( abs `  (
b  -  u ) )  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
119, 10eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
126, 7, 11syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b
( abs  o.  -  )
u )  =  ( abs `  ( u  -  b ) ) )
1312breq1d 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
147, 6subcld 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  b )  e.  CC )
1514abscld 12269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  b
) )  e.  RR )
16 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR+ )
1716rpred 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
18 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR+ )
1918rpred 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR )
20 ltmin 10812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
2213, 21bitrd 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
23 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y )
2422, 23syl6bi 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y ) )
25 simpll2 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  c  e.  CC )
26 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
278cnmetdval 18836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( c  -  v
) ) )
28 abssub 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( abs `  (
c  -  v ) )  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
2927, 28eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
3025, 26, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( c
( abs  o.  -  )
v )  =  ( abs `  ( v  -  c ) ) )
3130breq1d 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
3226, 25subcld 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  c )  e.  CC )
3332abscld 12269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  c
) )  e.  RR )
34 ltmin 10812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
v  -  c ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
3631, 35bitrd 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
37 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z )
3836, 37syl6bi 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z ) )
3924, 38anim12d 548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b ( abs 
o.  -  ) u
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
401fovcl 6204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( b  .+  c
)  e.  CC )
416, 25, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b  .+  c )  e.  CC )
421fovcl 6204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  .+  v
)  e.  CC )
4342adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  .+  v )  e.  CC )
448cnmetdval 18836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( b  .+  c )  -  (
u  .+  v )
) ) )
45 abssub 12161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( b  .+  c
)  -  ( u 
.+  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4644, 45eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4741, 43, 46syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  ( b  .+  c ) ) ) )
4847breq1d 4247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) )  <  a
) )
4948biimprd 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) )
5039, 49imim12d 71 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5150anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5251ralimdva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  ->  ( A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5352ralimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
54 breq2 4241 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  <->  ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
55 breq2 4241 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  x  <->  ( c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
5654, 55anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
x  /\  ( c
( abs  o.  -  )
v )  <  x
)  <->  ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) ) )
5756imbi1d 310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  ( ( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
58572ralbidv 2753 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
5958rspcev 3058 . . . . . 6  |-  ( ( if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
605, 53, 59ee12an 1373 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
6160rexlimdvva 2843 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
623, 61mpd 15 . . 3  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
6362rgen3 2809 . 2  |-  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
64 cnxmet 18838 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
65 addcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
6665cnfldtopn 18847 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6766, 66, 66txmetcn 18609 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) ) )
6864, 64, 64, 67mp3an 1280 . 2  |-  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
691, 63, 68mpbir2an 888 1  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712   ifcif 3763   class class class wbr 4237    X. cxp 4905    o. ccom 4911   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322   RR+crp 10643   abscabs 12070   TopOpenctopn 13680   * Metcxmt 16717  ℂfldccnfld 16734    Cn ccn 17319    tX ctx 17623
This theorem is referenced by:  addcn  18926  subcn  18927  mulcn  18928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-xms 18381  df-tms 18383
  Copyright terms: Public domain W3C validator