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Theorem addcnlem 18855
Description: Lemma for addcn 18856, subcn 18857, and mulcn 18858. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
addcn.2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
addcn.3  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
Assertion
Ref Expression
addcnlem  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, u, v, y, z, J    .+ , a, b, c, u, v, y, z

Proof of Theorem addcnlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 addcn.3 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
323coml 1160 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
4 ifcl 3743 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  e.  RR+ )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  e.  RR+ )
6 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  b  e.  CC )
7 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
8 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 18766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( b  -  u
) ) )
10 abssub 12093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( abs `  (
b  -  u ) )  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
119, 10eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
126, 7, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b
( abs  o.  -  )
u )  =  ( abs `  ( u  -  b ) ) )
1312breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
147, 6subcld 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  b )  e.  CC )
1514abscld 12201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  b
) )  e.  RR )
16 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR+ )
1716rpred 10612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
18 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR+ )
1918rpred 10612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR )
20 ltmin 10745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
2213, 21bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
23 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y )
2422, 23syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y ) )
25 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  c  e.  CC )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
278cnmetdval 18766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( c  -  v
) ) )
28 abssub 12093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( abs `  (
c  -  v ) )  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
2927, 28eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
3025, 26, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( c
( abs  o.  -  )
v )  =  ( abs `  ( v  -  c ) ) )
3130breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
3226, 25subcld 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  c )  e.  CC )
3332abscld 12201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  c
) )  e.  RR )
34 ltmin 10745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
v  -  c ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
3631, 35bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
37 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z )
3836, 37syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z ) )
3924, 38anim12d 547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b ( abs 
o.  -  ) u
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
401fovcl 6142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( b  .+  c
)  e.  CC )
416, 25, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b  .+  c )  e.  CC )
421fovcl 6142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  .+  v
)  e.  CC )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  .+  v )  e.  CC )
448cnmetdval 18766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( b  .+  c )  -  (
u  .+  v )
) ) )
45 abssub 12093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( b  .+  c
)  -  ( u 
.+  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4644, 45eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4741, 43, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  ( b  .+  c ) ) ) )
4847breq1d 4190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) )  <  a
) )
4948biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) )
5039, 49imim12d 70 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5150anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5251ralimdva 2752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  ->  ( A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5352ralimdva 2752 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
54 breq2 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  <->  ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
55 breq2 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  x  <->  ( c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
5654, 55anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
x  /\  ( c
( abs  o.  -  )
v )  <  x
)  <->  ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) ) )
5756imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  ( ( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
58572ralbidv 2716 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
5958rspcev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
605, 53, 59ee12an 1369 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
6160rexlimdvva 2805 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
623, 61mpd 15 . . 3  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
6362rgen3 2771 . 2  |-  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
64 cnxmet 18768 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
65 addcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
6665cnfldtopn 18777 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6766, 66, 66txmetcn 18539 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) ) )
6864, 64, 64, 67mp3an 1279 . 2  |-  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
691, 63, 68mpbir2an 887 1  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   ifcif 3707   class class class wbr 4180    X. cxp 4843    o. ccom 4849   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   RR+crp 10576   abscabs 12002   TopOpenctopn 13612   * Metcxmt 16649  ℂfldccnfld 16666    Cn ccn 17250    tX ctx 17553
This theorem is referenced by:  addcn  18856  subcn  18857  mulcn  18858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-xms 18311  df-tms 18313
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