Theorem addcnsrec 5263

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 5262 and mulcnsrec 5264.

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 5253	. 2 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> (<.A, B>. + <.C, D>.) = <.(A +R C), (B +R D)>.)
2		opex 2782	. . . 4 |- <.A, B>. e. V
3	2	ecid 4300	. . 3 |- [<.A, B>.]`'E = <.A, B>.
4		opex 2782	. . . 4 |- <.C, D>. e. V
5	4	ecid 4300	. . 3 |- [<.C, D>.]`'E = <.C, D>.
6	3, 5	opreq12i 3973	. 2 |- ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = (<.A, B>. + <.C, D>.)
7		opex 2782	. . 3 |- <.(A +R C), (B +R D)>. e. V
8	7	ecid 4300	. 2 |- [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E = <.(A +R C), (B +R D)>.
9	1, 6, 8	3eqtr4g 1531	1 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  Ecep 2830  `'ccnv 3169  (class class class)co 3963  [cec 4259  R.cnr 4993   +R cplr 4997   + caddc 5237

This theorem is referenced by:  axaddcom 5275  axaddass 5277  axdistr 5279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-eprel 2832  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-ec 4263  df-c 5240  df-plus 5245

Copyright terms: Public domain