MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomd Unicode version

Theorem addcomd 9014
Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
addcomd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addcomd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )

Proof of Theorem addcomd
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
21a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
32, 2addcld 8854 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  e.  CC )
4 muld.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 addcomd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
63, 4, 5adddid 8859 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( 1  +  1 )  x.  A )  +  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) ) )
74, 5addcld 8854 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
8 1p1times 8983 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B
) ) )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
10 1p1times 8983 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
114, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( A  +  A ) )
12 1p1times 8983 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
135, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
1411, 13oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  1 )  x.  A )  +  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) )  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) ) )
156, 9, 143eqtr3rd 2324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
164, 4addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  A
)  e.  CC )
1716, 5, 5addassd 8857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B
)  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) ) )
187, 4, 5addassd 8857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B )  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
1915, 17, 183eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B
)  =  ( ( ( A  +  B
)  +  A )  +  B ) )
2016, 5addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  e.  CC )
217, 4addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  A
)  e.  CC )
22 addcan2 8997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  A )  +  B
)  e.  CC  /\  ( ( A  +  B )  +  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B )  =  ( ( ( A  +  B )  +  A
)  +  B )  <-> 
( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) ) )
2320, 21, 5, 22syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B )  =  ( ( ( A  +  B )  +  A
)  +  B )  <-> 
( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) ) )
2419, 23mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) )
254, 4, 5addassd 8857 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( A  +  ( A  +  B ) ) )
264, 5, 4addassd 8857 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  A
)  =  ( A  +  ( B  +  A ) ) )
2724, 25, 263eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) ) )
285, 4addcld 8854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  e.  CC )
29 addcan 8996 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( B  +  A
)  e.  CC )  ->  ( ( A  +  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) )  <->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) ) )
304, 7, 28, 29syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( A  +  B
) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) )  <-> 
( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) ) )
3127, 30mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742
This theorem is referenced by:  subadd2  9055  pncan  9057  npcan  9060  subcan  9102  ltadd1  9241  leadd2  9243  ltsubadd2  9245  lesubadd2  9247  ltaddrp2d  10420  lincmb01cmp  10777  iccf1o  10778  modadd12d  11005  expaddz  11146  spllen  11469  splfv2a  11471  remullem  11613  sqreulem  11843  climaddc2  12109  clim2ser2  12129  iseraltlem2  12155  fsumtscopo  12260  fsumparts  12264  bcxmas  12294  cosneg  12427  coshval  12435  sinadd  12444  sincossq  12456  cos2t  12458  absefi  12476  absefib  12478  sadadd2lem2  12641  bitsres  12664  bezoutlem2  12718  bezoutlem4  12720  pythagtrip  12887  pcadd2  12938  vdwapun  13021  vdwlem5  13032  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  gsumccat  14464  mulgnndir  14589  mulgdirlem  14591  mulgdir  14592  sylow1lem1  14909  efgcpbllemb  15064  cygabl  15177  ablfacrp  15301  icccvx  18448  pjthlem1  18801  ovolicc2lem4  18879  cmmbl  18892  voliunlem1  18907  itgmulc2  19188  dvle  19354  dvcvx  19367  dvfsumlem2  19374  dvfsumlem4  19376  dvfsum2  19381  ply1divex  19522  plymullem1  19596  coeeulem  19606  aaliou3lem6  19728  dvtaylp  19749  ulmcn  19776  abelthlem7  19814  pilem3  19829  lawcos  20114  affineequiv  20123  quad2  20135  dcubic1lem  20139  dcubic2  20140  dcubic  20142  mcubic  20143  quart1lem  20151  quart1  20152  asinlem2  20165  asinsin  20188  cosasin  20200  atanlogaddlem  20209  atanlogadd  20210  cvxcl  20279  scvxcvx  20280  bposlem9  20531  lgseisenlem1  20588  2sqlem3  20605  2sqblem  20616  dchrisumlem2  20639  selberg  20697  selberg2  20700  chpdifbndlem1  20702  selberg4  20710  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem6  20732  pntibndlem2  20740  pntlemb  20746  pntlemf  20754  padicabv  20779  smcnlem  21270  ipval2  21280  hhph  21757  pjhthlem1  21970  golem1  22851  stcltrlem1  22856  ballotlemsdom  23070  rescon  23777  eupath2lem3  23903  modaddabs  24011  rtrclreclem.trans  24043  colinearalglem2  24535  axsegconlem9  24553  axpasch  24569  axeuclidlem  24590  bpoly4  24794  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  truni1  25505  2wsms  25608  rnegvex2  25661  pellexlem2  26915  pell14qrgt0  26944  rmxyadd  27006  rmxluc  27021  fzmaxdif  27068  acongeq  27070  jm2.19lem2  27083  jm2.26lem3  27094  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  sigarperm  27850  onetansqsecsq  28231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator