Theorem addcompq 5074

Description: Addition of positive fractions is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
addcompq.1	|- A e. V
addcompq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addcompq	|- (A +Q B) = (B +Q A)

Proof of Theorem addcompq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5050	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		addpipq 5066	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
3		addpipq 5066	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (x e. N. /\ y e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q +Q [<.x, y>.] ~Q ) = [<.((z .N y) +N (w .N x)), (w .N y)>.] ~Q )
4		visset 1816	. . . . . 6 |- x e. V
5		visset 1816	. . . . . 6 |- w e. V
6	4, 5	mulcompi 5036	. . . . 5 |- (x .N w) = (w .N x)
7		visset 1816	. . . . . 6 |- y e. V
8		visset 1816	. . . . . 6 |- z e. V
9	7, 8	mulcompi 5036	. . . . 5 |- (y .N z) = (z .N y)
10	6, 9	opreq12i 3979	. . . 4 |- ((x .N w) +N (y .N z)) = ((w .N x) +N (z .N y))
11		oprex 3989	. . . . 5 |- (w .N x) e. V
12		oprex 3989	. . . . 5 |- (z .N y) e. V
13	11, 12	addcompi 5034	. . . 4 |- ((w .N x) +N (z .N y)) = ((z .N y) +N (w .N x))
14	10, 13	eqtr 1498	. . 3 |- ((x .N w) +N (y .N z)) = ((z .N y) +N (w .N x))
15	7, 5	mulcompi 5036	. . 3 |- (y .N w) = (w .N y)
16	1, 2, 3, 14, 15	ecoprcom 4325	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) = (B +Q A))
17		addcompq.2	. . 3 |- B e. V
18		dmaddpq 5071	. . 3 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
19		addcompq.1	. . 3 |- A e. V
20	17, 18, 19	ndmoprcom 4053	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) = (B +Q A))
21	16, 20	pm2.61i 126	1 |- (A +Q B) = (B +Q A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  N.cnpi 4984   +N cpli 4985   .N cmi 4986   ~Q ceq 4990  Q.cnq 4991   +Q cplq 4993

This theorem is referenced by:  ltaddpq 5091  addclprlem2 5131  addclpr 5132  addcompr 5135  distrlem4pr 5142  prlem934 5151  ltexprlem2 5155  ltexprlem6 5159  ltexprlem7 5160  prlem936a 5165

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-plpq 5047  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051

Copyright terms: Public domain