Theorem addcompr 5135

Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123.

Hypotheses

Ref	Expression
addcompr.1	|- A e. V
addcompr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addcompr	|- (A +P. B) = (B +P. A)

Proof of Theorem addcompr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plpv 5125	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
2		plpv 5125	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y))})
3		ancom 437	. . . . . . . . 9 |- ((z e. B /\ y e. A) <-> (y e. A /\ z e. B))
4		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
5		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
6	4, 5	addcompq 5074	. . . . . . . . . 10 |- (z +Q y) = (y +Q z)
7	6	eqeq2i 1488	. . . . . . . . 9 |- (x = (z +Q y) <-> x = (y +Q z))
8	3, 7	anbi12i 484	. . . . . . . 8 |- (((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> ((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
9	8	2exbii 1054	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
10		excom 1048	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
11	9, 10	bitr 173	. . . . . 6 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
12	11	abbii 1578	. . . . 5 |- {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y))} = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))}
13	2, 12	syl6eq 1526	. . . 4 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
14	13	ancoms 438	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
15	1, 14	eqtr4d 1513	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = (B +P. A))
16		addcompr.2	. . 3 |- B e. V
17		dmplp 5127	. . 3 |- dom +P. = (P. X. P.)
18		addcompr.1	. . 3 |- A e. V
19	16, 17, 18	ndmoprcom 4053	. 2 |- (-. (A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = (B +P. A))
20	15, 19	pm2.61i 126	1 |- (A +P. B) = (B +P. A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  Vcvv 1814  (class class class)co 3969   +Q cplq 4993  P.cnp 4997   +P. cpp 4999

This theorem is referenced by:  dmenr 5187  enrer 5188  addcmpblnr 5193  mulcmpblnrlem 5194  ltsrpr 5198  addcomsr 5208  mulcomsr 5210  mulasssr 5211  distrsr 5212  ltsosr 5215  0lt1sr 5216  0idsr 5218  1idsr 5219  ltasr 5221  recexsrlem 5224  mulgt0sr 5226  mappsrpr 5230  ltpsrpr 5231  map2psrpr 5232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-plpq 5047  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-plp 5100

Copyright terms: Public domain