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Theorem adderpq 8596
Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adderpq  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )

Proof of Theorem adderpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8571 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 8571 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 addpqnq 8578 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 8561 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 8572 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 8565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 adderpqlem 8594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  B ) ) )
12113exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) )
1413imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) )
158, 14mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
) )
16 nqerrel 8572 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 8565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 adderpqlem 8594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  +pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 addcompq 8590 . . . . . 6  |-  ( B 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
)
26 addcompq 8590 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4070 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 6692 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 addpqf 8584 . . . . . 6  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 5965 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 5965 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 8575 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) ) )
37 0nnq 8564 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 8570 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5410 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5568 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 298 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 294 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 122 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5568 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 298 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 294 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 122 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 127 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 addnqf 8588 . . . . . 6  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5410 . . . . 5  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6020 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 15 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4733 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2360 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 290 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5410 . . . . . . 7  |-  dom  +pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6020 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
+pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 294 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  +pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5568 . . . 4  |-  ( -.  ( A  +pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 15 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2331 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
+pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 156 1  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Er wer 6673   N.cnpi 8482    +pQ cplpq 8486    ~Q ceq 8489   Q.cnq 8490   /Qcerq 8492    +Q cplq 8493
This theorem is referenced by:  addassnq  8598  distrnq  8601  ltexnq  8615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-1nq 8556
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