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Theorem adderpq 8580
Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adderpq  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )

Proof of Theorem adderpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8555 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 8555 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 addpqnq 8562 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 8545 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 8556 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 8549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 adderpqlem 8578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  B ) ) )
12113exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) )
1413imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) )
158, 14mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
) )
16 nqerrel 8556 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 8549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 adderpqlem 8578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  +pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 addcompq 8574 . . . . . 6  |-  ( B 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
)
26 addcompq 8574 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4054 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 6676 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 addpqf 8568 . . . . . 6  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 5949 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 5949 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 8559 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) ) )
37 0nnq 8548 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 8554 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5394 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5552 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 298 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 294 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 122 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5552 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 298 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 294 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 122 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 127 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 addnqf 8572 . . . . . 6  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5394 . . . . 5  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6004 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 15 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4717 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2347 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 290 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5394 . . . . . . 7  |-  dom  +pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6004 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
+pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 294 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  +pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5552 . . . 4  |-  ( -.  ( A  +pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 15 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2318 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
+pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 156 1  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   N.cnpi 8466    +pQ cplpq 8470    ~Q ceq 8473   Q.cnq 8474   /Qcerq 8476    +Q cplq 8477
This theorem is referenced by:  addassnq  8582  distrnq  8585  ltexnq  8599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-1nq 8540
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