Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adderpqlem Structured version   Unicode version

 Description: Lemma for adderpq 8864. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Proof of Theorem adderpqlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 6405 . . . . . 6
213ad2ant1 979 . . . . 5
3 xp2nd 6406 . . . . . 6
433ad2ant3 981 . . . . 5
5 mulclpi 8801 . . . . 5
62, 4, 5syl2anc 644 . . . 4
7 xp1st 6405 . . . . . 6
873ad2ant3 981 . . . . 5
9 xp2nd 6406 . . . . . 6
1093ad2ant1 979 . . . . 5
11 mulclpi 8801 . . . . 5
128, 10, 11syl2anc 644 . . . 4
13 addclpi 8800 . . . 4
146, 12, 13syl2anc 644 . . 3
15 mulclpi 8801 . . . 4
1610, 4, 15syl2anc 644 . . 3
17 xp1st 6405 . . . . . 6
18173ad2ant2 980 . . . . 5
19 mulclpi 8801 . . . . 5
2018, 4, 19syl2anc 644 . . . 4
21 xp2nd 6406 . . . . . 6
22213ad2ant2 980 . . . . 5
23 mulclpi 8801 . . . . 5
248, 22, 23syl2anc 644 . . . 4
25 addclpi 8800 . . . 4
2620, 24, 25syl2anc 644 . . 3
27 mulclpi 8801 . . . 4
2822, 4, 27syl2anc 644 . . 3
29 enqbreq 8827 . . 3
3014, 16, 26, 28, 29syl22anc 1186 . 2
31 addpipq2 8844 . . . 4
32313adant2 977 . . 3
33 addpipq2 8844 . . . 4
34333adant1 976 . . 3
3532, 34breq12d 4250 . 2
36 enqbreq2 8828 . . . 4
37363adant3 978 . . 3
38 mulclpi 8801 . . . . 5
394, 4, 38syl2anc 644 . . . 4
40 mulclpi 8801 . . . . 5
412, 22, 40syl2anc 644 . . . 4
42 mulcanpi 8808 . . . 4
4339, 41, 42syl2anc 644 . . 3
44 mulcompi 8804 . . . . . . . 8
45 fvex 5771 . . . . . . . . 9
46 fvex 5771 . . . . . . . . 9
47 fvex 5771 . . . . . . . . 9
48 mulcompi 8804 . . . . . . . . 9
49 mulasspi 8805 . . . . . . . . 9
5045, 46, 47, 48, 49, 47caov4 6307 . . . . . . . 8
5144, 50eqtri 2462 . . . . . . 7
52 fvex 5771 . . . . . . . . 9
53 fvex 5771 . . . . . . . . 9
5452, 47, 53, 48, 49, 46caov4 6307 . . . . . . . 8
55 mulcompi 8804 . . . . . . . . 9
56 mulcompi 8804 . . . . . . . . 9
5755, 56oveq12i 6122 . . . . . . . 8
5854, 57eqtri 2462 . . . . . . 7
5951, 58oveq12i 6122 . . . . . 6
60 addcompi 8802 . . . . . 6
61 ovex 6135 . . . . . . 7
62 ovex 6135 . . . . . . 7
63 ovex 6135 . . . . . . 7
64 distrpi 8806 . . . . . . 7
6561, 62, 63, 48, 64caovdir 6310 . . . . . 6
6659, 60, 653eqtr4i 2472 . . . . 5
67 addcompi 8802 . . . . . 6
68 mulasspi 8805 . . . . . . . 8
69 mulcompi 8804 . . . . . . . . . 10
70 mulasspi 8805 . . . . . . . . . . . 12
71 mulcompi 8804 . . . . . . . . . . . 12
72 mulasspi 8805 . . . . . . . . . . . 12
7370, 71, 723eqtrri 2467 . . . . . . . . . . 11
7473oveq1i 6120 . . . . . . . . . 10
7569, 74eqtri 2462 . . . . . . . . 9
76 mulasspi 8805 . . . . . . . . 9
7775, 76eqtri 2462 . . . . . . . 8
7868, 77eqtri 2462 . . . . . . 7
7978oveq2i 6121 . . . . . 6
80 distrpi 8806 . . . . . 6
8167, 79, 803eqtr4i 2472 . . . . 5
8266, 81eqeq12i 2455 . . . 4
83 mulclpi 8801 . . . . . 6
8416, 24, 83syl2anc 644 . . . . 5
85 mulclpi 8801 . . . . . 6
8639, 41, 85syl2anc 644 . . . . 5
87 addcanpi 8807 . . . . 5
8884, 86, 87syl2anc 644 . . . 4
8982, 88syl5rbbr 253 . . 3
9037, 43, 893bitr2d 274 . 2
9130, 35, 903bitr4rd 279 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  cop 3841   class class class wbr 4237   cxp 4905  cfv 5483  (class class class)co 6110  c1st 6376  c2nd 6377  cnpi 8750   cpli 8751   cmi 8752   cplpq 8754   ceq 8757 This theorem is referenced by:  adderpq  8864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-ni 8780  df-pli 8781  df-mi 8782  df-plpq 8816  df-enq 8819
 Copyright terms: Public domain W3C validator