MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addgt0sr Unicode version

Theorem addgt0sr 8939
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 8906 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
21brel 4889 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  ( 0R  e.  R.  /\  A  e.  R. ) )
32simprd 450 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  A  ->  A  e. 
R. )
4 ltasr 8935 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  B  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B ) ) )
5 0idsr 8932 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
65breq1d 4186 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B )  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
74, 6bitrd 245 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  B  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
83, 7syl 16 . . 3  |-  ( 0R 
<R  A  ->  ( 0R 
<R  B  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
98biimpa 471 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  A  <R  ( A  +R  B ) )
10 ltsosr 8929 . . 3  |-  <R  Or  R.
1110, 1sotri 5224 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  A  <R  ( A  +R  B ) )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
129, 11syldan 457 1  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   R.cnr 8702   0Rc0r 8703    +R cplr 8706    <R cltr 8708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-ec 6870  df-qs 6874  df-ni 8709  df-pli 8710  df-mi 8711  df-lti 8712  df-plpq 8745  df-mpq 8746  df-ltpq 8747  df-enq 8748  df-nq 8749  df-erq 8750  df-plq 8751  df-mq 8752  df-1nq 8753  df-rq 8754  df-ltnq 8755  df-np 8818  df-1p 8819  df-plp 8820  df-ltp 8822  df-plpr 8892  df-enr 8894  df-nr 8895  df-plr 8896  df-ltr 8898  df-0r 8899
  Copyright terms: Public domain W3C validator