Theorem addinv 8128

Description: Value of the group inverse of complex number addition. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
addinv	|- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = -uA)

Proof of Theorem addinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddcom 5275	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A + y) = (y + A))
2	1	eqeq1d 1483	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> ((A + y) = 0 <-> (y + A) = 0))
3	2	rabbidv 1806	. . . 4 |- (A e. CC -> {y e. CC | (A + y) = 0} = {y e. CC | (y + A) = 0})
4	3	unieqd 2512	. . 3 |- (A e. CC -> U.{y e. CC | (A + y) = 0} = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
5		0cn 5328	. . . 4 |- 0 e. CC
6		subvalt 5357	. . . 4 |- ((0 e. CC /\ A e. CC) -> (0 - A) = U.{y e. CC | (A + y) = 0})
7	5, 6	mpan 695	. . 3 |- (A e. CC -> (0 - A) = U.{y e. CC | (A + y) = 0})
8		cnaddabl 8126	. . . . 5 |- + e. Abel
9		ablgrp 8102	. . . . 5 |- ( + e. Abel -> + e. Grp)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- + e. Grp
11		axaddopr 5265	. . . . . . 7 |- + :(CC X. CC)-->CC
12	11	fdmi 3632	. . . . . 6 |- dom + = (CC X. CC)
13	10, 12	grprn 8056	. . . . 5 |- CC = ran +
14		cnid 8127	. . . . 5 |- 0 = (Id` + )
15		eqid 1475	. . . . 5 |- (inv` + ) = (inv` + )
16	13, 14, 15	grpinvval 8067	. . . 4 |- (( + e. Grp /\ A e. CC) -> ((inv` + )` A) = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
17	10, 16	mpan 695	. . 3 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = U.{y e. CC | (y + A) = 0})
18	4, 7, 17	3eqtr4rd 1518	. 2 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = (0 - A))
19		df-neg 5358	. 2 |- -uA = (0 - A)
20	18, 19	syl6eqr 1525	1 |- (A e. CC -> ((inv` + )` A) = -uA)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648  U.cuni 2503   X. cxp 3168  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237   - cmin 5292  -ucneg 5293  Grpcgr 8033  invcgn 8035  Abelcabl 8099

This theorem is referenced by:  readdsubg 8129  zaddsubg 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100

Copyright terms: Public domain