MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnidpi Structured version   Unicode version

Theorem addnidpi 8768
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnidpi  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B
)  =  A )

Proof of Theorem addnidpi
StepHypRef Expression
1 pinn 8745 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 elni2 8744 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
3 nnaordi 6853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
4 nna0 6839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
54eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  <->  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
6 nnord 4845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 ordirr 4591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
9 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  <->  A  e.  A ) )
109notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( -.  A  e.  ( A  +o  B )  <->  -.  A  e.  A ) )
118, 10syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  B
)  =  A  ->  -.  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
1211con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
135, 12sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
153, 14syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1615expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) ) )
1716imp32 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
182, 17sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
191, 18sylan 458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
20 addpiord 8751 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2120eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <-> 
( A  +o  B
)  =  A ) )
2219, 21mtbird 293 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A )
2322a1d 23 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A ) )
24 dmaddpi 8757 . . . . . 6  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
2524ndmov 6223 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  (/) )
2625eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <->  (/)  =  A ) )
27 0npi 8749 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  N.
28 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( (/)  =  A  ->  ( (/)  e.  N.  <->  A  e.  N. ) )
2927, 28mtbii 294 . . . 4  |-  ( (/)  =  A  ->  -.  A  e.  N. )
3026, 29syl6bi 220 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  ->  -.  A  e.  N. ) )
3130con2d 109 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A ) )
3223, 31pm2.61i 158 1  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   Ord word 4572   omcom 4837  (class class class)co 6073    +o coa 6713   N.cnpi 8709    +N cpli 8710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-ni 8739  df-pli 8740
  Copyright terms: Public domain W3C validator