MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnidpi Unicode version

Theorem addnidpi 8525
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnidpi  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B
)  =  A )

Proof of Theorem addnidpi
StepHypRef Expression
1 pinn 8502 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 elni2 8501 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
3 nnaordi 6616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
4 nna0 6602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
54eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  <->  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
6 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
9 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  <->  A  e.  A ) )
109notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( -.  A  e.  ( A  +o  B )  <->  -.  A  e.  A ) )
118, 10syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  B
)  =  A  ->  -.  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
1211con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
135, 12sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1413adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
153, 14syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1615expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) ) )
1716imp32 422 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
182, 17sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
191, 18sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
20 addpiord 8508 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2120eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <-> 
( A  +o  B
)  =  A ) )
2219, 21mtbird 292 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A )
2322a1d 22 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A ) )
24 dmaddpi 8514 . . . . . 6  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
2524ndmov 6004 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  (/) )
2625eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <->  (/)  =  A ) )
27 0npi 8506 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  N.
28 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( (/)  =  A  ->  ( (/)  e.  N.  <->  A  e.  N. ) )
2927, 28mtbii 293 . . . 4  |-  ( (/)  =  A  ->  -.  A  e.  N. )
3026, 29syl6bi 219 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  ->  -.  A  e.  N. ) )
3130con2d 107 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A ) )
3223, 31pm2.61i 156 1  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   Ord word 4391   omcom 4656  (class class class)co 5858    +o coa 6476   N.cnpi 8466    +N cpli 8467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-ni 8496  df-pli 8497
  Copyright terms: Public domain W3C validator