MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addnidpi Unicode version

Theorem addnidpi 8712
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addnidpi  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B
)  =  A )

Proof of Theorem addnidpi
StepHypRef Expression
1 pinn 8689 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 elni2 8688 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
3 nnaordi 6798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
4 nna0 6784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
54eleq1d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  <->  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
6 nnord 4794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 ordirr 4541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
9 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  <->  A  e.  A ) )
109notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( -.  A  e.  ( A  +o  B )  <->  -.  A  e.  A ) )
118, 10syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  B
)  =  A  ->  -.  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
1211con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
135, 12sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
153, 14syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1615expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) ) )
1716imp32 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
182, 17sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
191, 18sylan 458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
20 addpiord 8695 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2120eqeq1d 2396 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <-> 
( A  +o  B
)  =  A ) )
2219, 21mtbird 293 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A )
2322a1d 23 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A ) )
24 dmaddpi 8701 . . . . . 6  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
2524ndmov 6171 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  (/) )
2625eqeq1d 2396 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <->  (/)  =  A ) )
27 0npi 8693 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  N.
28 eleq1 2448 . . . . 5  |-  ( (/)  =  A  ->  ( (/)  e.  N.  <->  A  e.  N. ) )
2927, 28mtbii 294 . . . 4  |-  ( (/)  =  A  ->  -.  A  e.  N. )
3026, 29syl6bi 220 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  ->  -.  A  e.  N. ) )
3130con2d 109 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A ) )
3223, 31pm2.61i 158 1  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  ( A  +N  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3572   Ord word 4522   omcom 4786  (class class class)co 6021    +o coa 6658   N.cnpi 8653    +N cpli 8654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-oadd 6665  df-ni 8683  df-pli 8684
  Copyright terms: Public domain W3C validator