Theorem addpipq 5066

Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
addpipq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q +Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.] ~Q )

Proof of Theorem addpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2788	. 2 |- <.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>. e. V
2		opex 2788	. 2 |- <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>. e. V
3		opex 2788	. 2 |- <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>. e. V
4		enqex 5060	. 2 |- ~Q e. V
5		enqer 5058	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 5057	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-enq 5049	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
8		opreq12 3976	. . . 4 |- ((z = a /\ u = d) -> (z .N u) = (a .N d))
9		opreq12 3976	. . . 4 |- ((w = b /\ v = c) -> (w .N v) = (b .N c))
10	8, 9	eqeqan12d 1493	. . 3 |- (((z = a /\ u = d) /\ (w = b /\ v = c)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
11	10	an42s 511	. 2 |- (((z = a /\ w = b) /\ (v = c /\ u = d)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
12		opreq12 3976	. . . 4 |- ((z = g /\ u = s) -> (z .N u) = (g .N s))
13		opreq12 3976	. . . 4 |- ((w = h /\ v = t) -> (w .N v) = (h .N t))
14	12, 13	eqeqan12d 1493	. . 3 |- (((z = g /\ u = s) /\ (w = h /\ v = t)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
15	14	an42s 511	. 2 |- (((z = g /\ w = h) /\ (v = t /\ u = s)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
16		df-plpq 5047	. 2 |- +pQ = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>.))}
17		opreq12 3976	. . . . 5 |- ((w = a /\ f = h) -> (w .N f) = (a .N h))
18		opreq12 3976	. . . . 5 |- ((v = b /\ u = g) -> (v .N u) = (b .N g))
19	17, 18	opreqan12d 3985	. . . 4 |- (((w = a /\ f = h) /\ (v = b /\ u = g)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((a .N h) +N (b .N g)))
20	19	an42s 511	. . 3 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((a .N h) +N (b .N g)))
21		opreq12 3976	. . . 4 |- ((v = b /\ f = h) -> (v .N f) = (b .N h))
22	21	ad2ant2l 410	. . 3 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> (v .N f) = (b .N h))
23	20, 22	opeq12d 2499	. 2 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>.)
24		opreq12 3976	. . . . 5 |- ((w = c /\ f = s) -> (w .N f) = (c .N s))
25		opreq12 3976	. . . . 5 |- ((v = d /\ u = t) -> (v .N u) = (d .N t))
26	24, 25	opreqan12d 3985	. . . 4 |- (((w = c /\ f = s) /\ (v = d /\ u = t)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((c .N s) +N (d .N t)))
27	26	an42s 511	. . 3 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((c .N s) +N (d .N t)))
28		opreq12 3976	. . . 4 |- ((v = d /\ f = s) -> (v .N f) = (d .N s))
29	28	ad2ant2l 410	. . 3 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> (v .N f) = (d .N s))
30	27, 29	opeq12d 2499	. 2 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>.)
31		opreq12 3976	. . . . 5 |- ((w = A /\ f = D) -> (w .N f) = (A .N D))
32		opreq12 3976	. . . . 5 |- ((v = B /\ u = C) -> (v .N u) = (B .N C))
33	31, 32	opreqan12d 3985	. . . 4 |- (((w = A /\ f = D) /\ (v = B /\ u = C)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((A .N D) +N (B .N C)))
34	33	an42s 511	. . 3 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((A .N D) +N (B .N C)))
35		opreq12 3976	. . . 4 |- ((v = B /\ f = D) -> (v .N f) = (B .N D))
36	35	ad2ant2l 410	. . 3 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> (v .N f) = (B .N D))
37	34, 36	opeq12d 2499	. 2 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.)
38		df-plq 5051	. 2 |- +Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.aE.bE.cE.d((x = [<.a, b>.] ~Q /\ y = [<.c, d>.] ~Q ) /\ z = [(<.a, b>. +pQ <.c, d>.)] ~Q ))}
39		df-nq 5050	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
40		visset 1816	. . 3 |- a e. V
41		visset 1816	. . 3 |- b e. V
42		visset 1816	. . 3 |- c e. V
43		visset 1816	. . 3 |- d e. V
44		visset 1816	. . 3 |- g e. V
45		visset 1816	. . 3 |- h e. V
46		visset 1816	. . 3 |- t e. V
47		visset 1816	. . 3 |- s e. V
48	40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47	addcmpblnq 5064	. 2 |- ((((a e. N. /\ b e. N.) /\ (c e. N. /\ d e. N.)) /\ ((g e. N. /\ h e. N.) /\ (t e. N. /\ s e. N.))) -> (((a .N d) = (b .N c) /\ (g .N s) = (h .N t)) -> <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>. ~Q <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>.))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 23, 30, 37, 38, 39, 48	oprec 4324	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q +Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  (class class class)co 3969  [cec 4265  N.cnpi 4984   +N cpli 4985   .N cmi 4986   +pQ cplpq 4988   ~Q ceq 4990  Q.cnq 4991   +Q cplq 4993

This theorem is referenced by:  addclpq 5070  addcompq 5074  addasspq 5075  distrpq 5079  ltapq 5088  1lt2pq 5090  ltexpq 5092  halfpq 5094  prlem934a 5149

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-plpq 5047  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051

Copyright terms: Public domain