MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addresr Unicode version

Theorem addresr 8947
Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem addresr
StepHypRef Expression
1 0r 8889 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 addcnsr 8944 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
32an4s 800 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
41, 1, 3mpanr12 667 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >. )
5 0idsr 8906 . . . 4  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
76opeq2i 3931 . 2  |-  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >.  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >.
84, 7syl6eq 2436 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3761  (class class class)co 6021   R.cnr 8676   0Rc0r 8677    +R cplr 8680    + caddc 8927
This theorem is referenced by:  axaddrcl  8961  axi2m1  8968  axrnegex  8971  axpre-ltadd  8976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-ec 6844  df-qs 6848  df-ni 8683  df-pli 8684  df-mi 8685  df-lti 8686  df-plpq 8719  df-mpq 8720  df-ltpq 8721  df-enq 8722  df-nq 8723  df-erq 8724  df-plq 8725  df-mq 8726  df-1nq 8727  df-rq 8728  df-ltnq 8729  df-np 8792  df-1p 8793  df-plp 8794  df-ltp 8796  df-plpr 8866  df-enr 8868  df-nr 8869  df-plr 8870  df-0r 8873  df-c 8930  df-add 8935
  Copyright terms: Public domain W3C validator