Theorem addresr 6851

Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals.

Assertion

Ref	Expression
addresr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. + <.B, 0R>.) = <.(A +R B), 0R>.)

Proof of Theorem addresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 6784	. . 3 |- 0R e. R.
2		addcnsr 6848	. . . 4 |- (((A e. R. /\ 0R e. R.) /\ (B e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. + <.B, 0R>.) = <.(A +R B), (0R +R 0R)>.)
3	2	an4s 941	. . 3 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. + <.B, 0R>.) = <.(A +R B), (0R +R 0R)>.)
4	1, 1, 3	mpanr12 795	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. + <.B, 0R>.) = <.(A +R B), (0R +R 0R)>.)
5		0idsr 6801	. . . 4 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 7	. . 3 |- (0R +R 0R) = 0R
7	6	opeq2i 3381	. 2 |- <.(A +R B), (0R +R 0R)>. = <.(A +R B), 0R>.
8	4, 7	syl6eq 2222	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. + <.B, 0R>.) = <.(A +R B), 0R>.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617  <.cop 3272  (class class class)co 5020  R.cnr 6588  0Rc0r 6589   +R cplr 6592   + caddc 6832

This theorem is referenced by:  axaddrcl 6867  axi2m1 6874  axrnegex 6877  axpre-ltadd 6882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-inf2 6008

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-rdg 5344  df-1o 5384  df-oadd 5386  df-omul 5387  df-er 5519  df-ec 5521  df-qs 5524  df-ni 6595  df-pli 6596  df-mi 6597  df-lti 6598  df-plpq 6630  df-mpq 6631  df-enq 6632  df-nq 6633  df-plq 6634  df-mq 6635  df-rq 6636  df-ltq 6637  df-1q 6638  df-np 6681  df-1p 6682  df-plp 6683  df-ltp 6685  df-plpr 6759  df-enr 6761  df-nr 6762  df-plr 6763  df-0r 6766  df-c 6835  df-plus 6840

Copyright terms: Public domain