HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adj1o Unicode version

Theorem adj1o 22474
Description: The adjoint function maps one-to-one onto its domain. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adj1o  |-  adjh : dom  adjh -1-1-onto-> dom  adjh

Proof of Theorem adj1o
StepHypRef Expression
1 funadj 22466 . . 3  |-  Fun  adjh
2 funfn 5283 . . 3  |-  ( Fun 
adjh 
<-> 
adjh  Fn  dom  adjh )
31, 2mpbi 199 . 2  |-  adjh  Fn  dom  adjh
4 funcnvadj 22473 . 2  |-  Fun  `' adjh
5 df-rn 4700 . . 3  |-  ran  adjh  =  dom  `' adjh
6 cnvadj 22472 . . . 4  |-  `' adjh  = 
adjh
76dmeqi 4880 . . 3  |-  dom  `' adjh  =  dom  adjh
85, 7eqtri 2303 . 2  |-  ran  adjh  =  dom  adjh
9 dff1o2 5477 . 2  |-  ( adjh
: dom  adjh -1-1-onto-> dom  adjh  <->  ( adjh  Fn  dom  adjh  /\  Fun  `' adjh  /\ 
ran  adjh  =  dom  adjh ) )
103, 4, 8, 9mpbir3an 1134 1  |-  adjh : dom  adjh -1-1-onto-> dom  adjh
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254   adjhcado 21535
This theorem is referenced by:  dmadjrn  22475  adjbdlnb  22664  adjbd1o  22665
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-hvsub 21551  df-adjh 22429
  Copyright terms: Public domain W3C validator