Theorem adj2t 9858

Description: Property of an adjoint Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
adj2t	|- ((T e. dom adjh /\ A e. H~ /\ B e. H~) -> ((T` A) .ih B) = (A .ih ((adjh` T)` B)))

Proof of Theorem adj2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjt 9857	. . . 4 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> (B .ih (T` A)) = (((adjh` T)` B) .ih A))
2		ax-his1 8949	. . . . 5 |- ((B e. H~ /\ (T` A) e. H~) -> (B .ih (T` A)) = (*` ((T` A) .ih B)))
3		3simp2 789	. . . . 5 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> B e. H~)
4		ffvelrn 3814	. . . . . . 7 |- ((T:H~-->H~ /\ A e. H~) -> (T` A) e. H~)
5		dmadjopt 9820	. . . . . . 7 |- (T e. dom adjh -> T:H~-->H~)
6	4, 5	sylan 448	. . . . . 6 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> (T` A) e. H~)
7	6	3adant2 798	. . . . 5 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> (T` A) e. H~)
8	2, 3, 7	sylanc 471	. . . 4 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> (B .ih (T` A)) = (*` ((T` A) .ih B)))
9		ax-his1 8949	. . . . 5 |- ((((adjh` T)` B) e. H~ /\ A e. H~) -> (((adjh` T)` B) .ih A) = (*` (A .ih ((adjh` T)` B))))
10		adjclt 9856	. . . . . 6 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~) -> ((adjh` T)` B) e. H~)
11	10	3adant3 799	. . . . 5 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> ((adjh` T)` B) e. H~)
12		3simp3 790	. . . . 5 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> A e. H~)
13	9, 11, 12	sylanc 471	. . . 4 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> (((adjh` T)` B) .ih A) = (*` (A .ih ((adjh` T)` B))))
14	1, 8, 13	3eqtr3d 1515	. . 3 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> (*` ((T` A) .ih B)) = (*` (A .ih ((adjh` T)` B))))
15		cj11t 6830	. . . 4 |- ((((T` A) .ih B) e. CC /\ (A .ih ((adjh` T)` B)) e. CC) -> ((*` ((T` A) .ih B)) = (*` (A .ih ((adjh` T)` B))) <-> ((T` A) .ih B) = (A .ih ((adjh` T)` B))))
16		hiclt 8947	. . . . 5 |- (((T` A) e. H~ /\ B e. H~) -> ((T` A) .ih B) e. CC)
17	16, 7, 3	sylanc 471	. . . 4 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> ((T` A) .ih B) e. CC)
18		hiclt 8947	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ ((adjh` T)` B) e. H~) -> (A .ih ((adjh` T)` B)) e. CC)
19	18, 12, 11	sylanc 471	. . . 4 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> (A .ih ((adjh` T)` B)) e. CC)
20	15, 17, 19	sylanc 471	. . 3 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> ((*` ((T` A) .ih B)) = (*` (A .ih ((adjh` T)` B))) <-> ((T` A) .ih B) = (A .ih ((adjh` T)` B))))
21	14, 20	mpbid 195	. 2 |- ((T e. dom adjh /\ B e. H~ /\ A e. H~) -> ((T` A) .ih B) = (A .ih ((adjh` T)` B)))
22	21	3com23 839	1 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~ /\ B e. H~) -> ((T` A) .ih B) = (A .ih ((adjh` T)` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  *ccj 6749  H~chil 8788   .ih csp 8793  adj_hcado 8824

This theorem is referenced by:  adjadjt 9860  adjvalvalt 9861  adjlnopt 10019  adjmult 10025  adjaddt 10026  adjco 10033  nmopcoadj 10034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hvsub 8840  df-adjh 9775

Copyright terms: Public domain