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Theorem adjadd 23596
Description: The adjoint of the sum of two operators. Theorem 3.11(iii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjadd  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )

Proof of Theorem adjadd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 23391 . . 3  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  S : ~H --> ~H )
2 dmadjop 23391 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
3 hoaddcl 23261 . . 3  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( S  +op  T
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( S  +op  T ) : ~H --> ~H )
5 dmadjrn 23398 . . . 4  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  S )  e.  dom  adjh )
6 dmadjop 23391 . . . 4  |-  ( (
adjh `  S )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  S ) : ~H --> ~H )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  S ) : ~H --> ~H )
8 dmadjrn 23398 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
9 dmadjop 23391 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T ) : ~H --> ~H )
11 hoaddcl 23261 . . 3  |-  ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H )
127, 10, 11syl2an 464 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H )
13 adj2 23437 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) ) )
14133expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( S `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  S ) `  y ) ) )
1514adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( S `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) ) )
16 adj2 23437 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
17163expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
1817adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
1915, 18oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S `
 x )  .ih  y )  +  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)  =  ( ( x  .ih  ( (
adjh `  S ) `  y ) )  +  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
201ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  x
)  e.  ~H )
2120ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( S `  x
)  e.  ~H )
222ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
2322ad2ant2lr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  x
)  e.  ~H )
24 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
y  e.  ~H )
25 ax-his2 22585 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( S `  x )  +h  ( T `  x )
)  .ih  y )  =  ( ( ( S `  x ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  x )  .ih  y
) ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) )  .ih  y
)  =  ( ( ( S `  x
)  .ih  y )  +  ( ( T `
 x )  .ih  y ) ) )
27 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  x  e.  ~H )
28 adjcl 23435 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )
2928ad2ant2rl 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )
30 adjcl 23435 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
3130ad2ant2l 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
32 his7 22592 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H  /\  ( (
adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) )  +  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  =  ( ( x  .ih  (
( adjh `  S ) `  y ) )  +  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3419, 26, 333eqtr4rd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  =  ( ( ( S `  x )  +h  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
357, 10anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( ( adjh `  S ) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
)
36 hosval 23243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y )  =  ( ( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )
37363expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) `
 y )  =  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
3835, 37sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y )  =  ( ( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )
3938adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) `
 y )  =  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
4039oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) ) )
411, 2anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H ) )
42 hosval 23243 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
43423expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( S  +op  T
) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4441, 43sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( S  +op  T
) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4544adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( S  +op  T ) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4645oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S 
+op  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( ( S `  x
)  +h  ( T `
 x ) ) 
.ih  y ) )
4734, 40, 463eqtr4rd 2479 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S 
+op  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  S )  +op  ( adjh `  T
) ) `  y
) ) )
4847ralrimivva 2798 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( ( S  +op  T ) `  x ) 
.ih  y )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) ) )
49 adjeq 23438 . 2  |-  ( ( ( S  +op  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( ( S  +op  T ) `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( ( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) ) )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )
504, 12, 48, 49syl3anc 1184 1  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    + caddc 8993   ~Hchil 22422    +h cva 22423    .ih csp 22425    +op chos 22441   adjhcado 22458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-hvsub 22474  df-hosum 23233  df-adjh 23352
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