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Theorem adjeu 23397
Description: Elementhood in the domain of the adjoint function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjeu  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
Distinct variable group:    x, u, y, T

Proof of Theorem adjeu
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 22507 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
2 fex2 5606 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ~H  e.  _V  /\  ~H  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
31, 1, 2mp3an23 1272 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  e.  _V )
4 feq1 5579 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
t : ~H --> ~H  <->  T : ~H
--> ~H ) )
5 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  y )  =  ( T `  y ) )
65oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y )
) )
76eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( x  .ih  (
t `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) )
872ralbidv 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
94, 83anbi13d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
10 3anass 941 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
119, 10syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) ) )
1211exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
)  <->  E. u ( T : ~H --> ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) ) )
13 19.42v 1929 . . . . . 6  |-  ( E. u ( T : ~H
--> ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) )
1412, 13syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( T : ~H
--> ~H  /\  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) ) )
15 dfadj2 23393 . . . . . . 7  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
1615dmeqi 5074 . . . . . 6  |-  dom  adjh  =  dom  { <. t ,  u >.  |  (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) }
17 dmopab 5083 . . . . . 6  |-  dom  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) }  =  { t  |  E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) }
1816, 17eqtri 2458 . . . . 5  |-  dom  adjh  =  { t  |  E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
1914, 18elab2g 3086 . . . 4  |-  ( T  e.  _V  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) ) )
2019baibd 877 . . 3  |-  ( ( T  e.  _V  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
213, 20mpancom 652 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
22 df-reu 2714 . . 3  |-  ( E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  E! u
( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
231, 1elmap 7045 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  u : ~H --> ~H )
2423anbi1i 678 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
2524eubii 2292 . . 3  |-  ( E! u ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  E! u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
26 adjmo 23340 . . . 4  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
27 eu5 2321 . . . 4  |-  ( E! u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  /\  E* u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
2826, 27mpbiran2 887 . . 3  |-  ( E! u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <->  E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
2922, 25, 283bitri 264 . 2  |-  ( E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
3021, 29syl6bbr 256 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283   E*wmo 2284   {cab 2424   A.wral 2707   E!wreu 2709   _Vcvv 2958   {copab 4268   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   ~Hchil 22427    .ih csp 22430   adjhcado 22463
This theorem is referenced by:  adjval  23398  adjbdln  23591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-2 10063  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-hvsub 22479  df-adjh 23357
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