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Theorem adjeu 23353
Description: Elementhood in the domain of the adjoint function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjeu  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
Distinct variable group:    x, u, y, T

Proof of Theorem adjeu
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 22463 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
2 fex2 5570 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ~H  e.  _V  /\  ~H  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
31, 1, 2mp3an23 1271 . . 3  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  e.  _V )
4 feq1 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
t : ~H --> ~H  <->  T : ~H
--> ~H ) )
5 fveq1 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  y )  =  ( T `  y ) )
65oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y )
) )
76eqeq1d 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( x  .ih  (
t `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) )
872ralbidv 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
94, 83anbi13d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
10 3anass 940 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
119, 10syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) ) )
1211exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
)  <->  E. u ( T : ~H --> ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) ) )
13 19.42v 1924 . . . . . 6  |-  ( E. u ( T : ~H
--> ~H  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) )
1412, 13syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( T : ~H
--> ~H  /\  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) ) )
15 dfadj2 23349 . . . . . . 7  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
1615dmeqi 5038 . . . . . 6  |-  dom  adjh  =  dom  { <. t ,  u >.  |  (
t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) }
17 dmopab 5047 . . . . . 6  |-  dom  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) }  =  { t  |  E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) }
1816, 17eqtri 2432 . . . . 5  |-  dom  adjh  =  { t  |  E. u ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
1914, 18elab2g 3052 . . . 4  |-  ( T  e.  _V  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) ) )
2019baibd 876 . . 3  |-  ( ( T  e.  _V  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
213, 20mpancom 651 . 2  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
22 df-reu 2681 . . 3  |-  ( E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  E! u
( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
231, 1elmap 7009 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  u : ~H --> ~H )
2423anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
2524eubii 2271 . . 3  |-  ( E! u ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  E! u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
26 adjmo 23296 . . . 4  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
27 eu5 2300 . . . 4  |-  ( E! u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  /\  E* u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
2826, 27mpbiran2 886 . . 3  |-  ( E! u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <->  E. u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
2922, 25, 283bitri 263 . 2  |-  ( E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  E. u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
3021, 29syl6bbr 255 1  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2262   E*wmo 2263   {cab 2398   A.wral 2674   E!wreu 2676   _Vcvv 2924   {copab 4233   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   ~Hchil 22383    .ih csp 22386   adjhcado 22419
This theorem is referenced by:  adjval  23354  adjbdln  23547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-2 10022  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-hvsub 22435  df-adjh 23313
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