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Theorem adjmo 22428
Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmo  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Distinct variable group:    x, y, u, T

Proof of Theorem adjmo
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 2689 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
2 eqtr2 2314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  -> 
( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
32ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~H  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
43ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)
51, 4sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
6 hoeq1 22426 . . . . . 6  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y )  <->  u  =  v ) )
76biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  u  =  v )
85, 7sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
98an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
109gen2 1537 . 2  |-  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  /\  (
v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )  ->  u  =  v )
11 feq1 5391 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  (
u : ~H --> ~H  <->  v : ~H
--> ~H ) )
12 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u `  x )  =  ( v `  x ) )
1312oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
1413eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
) )
15142ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
1611, 15anbi12d 691 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  (
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
1716mo4 2189 . 2  |-  ( E* u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <->  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v ) )
1810, 17mpbir 200 1  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632   E*wmo 2157   A.wral 2556   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ~Hchil 21515    .ih csp 21518
This theorem is referenced by:  funadj  22482  adjeu  22485  cnlnadjeui  22673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056  df-hvsub 21567
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