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Theorem adjmo 22412
Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmo  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Distinct variable group:    x, y, u, T

Proof of Theorem adjmo
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 2676 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
2 eqtr2 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  -> 
( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
32ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~H  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
43ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)
51, 4sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
6 hoeq1 22410 . . . . . 6  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y )  <->  u  =  v ) )
76biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  u  =  v )
85, 7sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
98an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
109gen2 1534 . 2  |-  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  /\  (
v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )  ->  u  =  v )
11 feq1 5375 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  (
u : ~H --> ~H  <->  v : ~H
--> ~H ) )
12 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u `  x )  =  ( v `  x ) )
1312oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
1413eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
) )
15142ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
1611, 15anbi12d 691 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  (
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
1716mo4 2176 . 2  |-  ( E* u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <->  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v ) )
1810, 17mpbir 200 1  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623   E*wmo 2144   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ~Hchil 21499    .ih csp 21502
This theorem is referenced by:  funadj  22466  adjeu  22469  cnlnadjeui  22657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551
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