Theorem adjmult 10020

Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106.

Assertion

Ref	Expression
adjmult	|- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))

Proof of Theorem adjmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjeqt 9854	. 2 |- (((A .op T):H~-->H~ /\ ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y))) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))
2		homulclt 9680	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T):H~-->H~)
3		dmadjopt 9815	. . 3 |- (T e. dom adjh -> T:H~-->H~)
4	2, 3	sylan2 453	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (A .op T):H~-->H~)
5		homulclt 9680	. . 3 |- (((*` A) e. CC /\ (adjh` T):H~-->H~) -> ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~)
6		cjclt 6765	. . 3 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
7		dmadjrnt 9816	. . . 4 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T) e. dom adjh)
8		dmadjopt 9815	. . . 4 |- ((adjh` T) e. dom adjh -> (adjh` T):H~-->H~)
9	7, 8	syl 10	. . 3 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T):H~-->H~)
10	5, 6, 9	syl2an 456	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~)
11		adj2t 9853	. . . . . . . . 9 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
12	11	3expb 836	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
13	12	adantll 394	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
14	13	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (A x. ((T` x) .ih y)) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
15		ax-his3 8946	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (T` x) e. H~ /\ y e. H~) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
16		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
17	16, 3	sylan 450	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
18	15, 17	syl3an2 862	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (T e. dom adjh /\ x e. H~) /\ y e. H~) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
19	18	3exp 834	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((T e. dom adjh /\ x e. H~) -> (y e. H~ -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))))
20	19	exp3a 376	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (T e. dom adjh -> (x e. H~ -> (y e. H~ -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y))))))
21	20	imp43 370	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
22		his52t 8949	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ x e. H~ /\ ((adjh` T)` y) e. H~) -> (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
23		simpll 414	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> A e. CC)
24		simprl 416	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> x e. H~)
25		adjclt 9851	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ y e. H~) -> ((adjh` T)` y) e. H~)
26	25	ad2ant2l 410	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((adjh` T)` y) e. H~)
27	22, 23, 24, 26	syl3anc 860	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
28	14, 21, 27	3eqtr4d 1520	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))))
29		homvalt 9513	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
30	29, 3	syl3an2 862	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
31	30	3expa 835	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
32	31	adantrr 397	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
33	32	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((A .op T)` x) .ih y) = ((A .h (T` x)) .ih y))
34		homvalt 9513	. . . . . . . . 9 |- (((*` A) e. CC /\ (adjh` T):H~-->H~ /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
35		id 59	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> y e. H~)
36	34, 6, 9, 35	syl3an 870	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
37	36	3expa 835	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
38	37	adantrl 396	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
39	38	opreq2d 3982	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)) = (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))))
40	28, 33, 39	3eqtr4d 1520	. . . 4 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)))
41	40	ex 373	. . 3 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y))))
42	41	r19.21aivv 1723	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> A.x e. H~ A.y e. H~ (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)))
43	1, 4, 10, 42	syl3anc 860	1 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   x. cmul 5251  *ccj 6750  H~chil 8783   .h csm 8785   .ih csp 8788   .op chot 8803  adj_hcado 8819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052