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Theorem adjsym 23336
Description: Symmetry property of an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjsym  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, T, y

Proof of Theorem adjsym
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
2 ax-his1 22584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  y
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) ) )
31, 2sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( * `  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) ) )
43adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( ( T `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) ) )
5 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  x
)  e.  ~H )
6 ax-his1 22584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( S `  x )  e.  ~H )  -> 
( y  .ih  ( S `  x )
)  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) ) )
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( * `  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
87adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( y  .ih  ( S `  x )
)  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) ) )
94, 8eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x )  .ih  y
) ) ) )
109ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x )  .ih  y
) ) ) )
11 hicl 22582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
121, 11sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  e.  CC )
1312adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
14 hicl 22582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
155, 14sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 x )  .ih  y )  e.  CC )
1615adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
17 cj11 11967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC  /\  ( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )  ->  ( ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( * `  ( x  .ih  ( T `
 y ) ) )  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( S `  x
)  .ih  y )
) )
1910, 18bitr2d 246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( ( T `  y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
2019an4s 800 . . . . . 6  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
2120anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( ( T `  y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
22 eqcom 2438 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `  x ) )  <->  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
2321, 22syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( ( ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
2423ralbidva 2721 . . 3  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
2524ralbidva 2721 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
26 ralcom 2868 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) )
27 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( S `  z )  =  ( S `  y ) )
2827oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( x  .ih  ( S `  y )
) )
29 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( T `  x
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y ) )
3028, 29eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  ( x  .ih  ( S `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
) )
3130ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 z ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) ) )
3231cbvralv 2932 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) )
3326, 32bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. z  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z ) )
34 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( y  .ih  ( S `  z )
) )
35 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
3635oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( T `  x
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 y )  .ih  z ) )
3734, 36eqeq12d 2450 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  ( y  .ih  ( S `  z
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  z )
) )
3837cbvralv 2932 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  z
)  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
3938ralbii 2729 . . 3  |-  ( A. z  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  A. z  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
40 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( S `  z )  =  ( S `  x ) )
4140oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( y  .ih  ( S `  x )
) )
42 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( T `  y
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 y )  .ih  x ) )
4341, 42eqeq12d 2450 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
4443ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
4544cbvralv 2932 . . 3  |-  ( A. z  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
4633, 39, 453bitri 263 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
4725, 46syl6rbbr 256 1  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   *ccj 11901   ~Hchil 22422    .ih csp 22425
This theorem is referenced by:  dfadj2  23388  adjval2  23394  cnlnadjeui  23580  cnlnssadj  23583  adjbdln  23586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-hfi 22581  ax-his1 22584
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906
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