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Theorem adjval 23346
Description: Value of the adjoint function for  T in the domain of  adjh. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjval  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  =  ( iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
Distinct variable group:    x, u, y, T

Proof of Theorem adjval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 23344 . . . . 5  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
21biantrurd 495 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) ) )
3 ax-hilex 22455 . . . . . 6  |-  ~H  e.  _V
43, 3elmap 7001 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  u : ~H --> ~H )
54anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
6 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
72, 5, 63bitr4g 280 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
87iotabidv 5398 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( iota u ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )  =  ( iota
u ( T : ~H
--> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
9 adjeu 23345 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
101, 9syl 16 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
1110ibi 233 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )
12 riotaiota 6514 . . 3  |-  ( E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  -> 
( iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  =  ( iota u ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  =  ( iota u
( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
14 dfadj2 23341 . . 3  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
15 feq1 5535 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  (
t : ~H --> ~H  <->  T : ~H
--> ~H ) )
16 fveq1 5686 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  y )  =  ( T `  y ) )
1716oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y )
) )
1817eqeq1d 2412 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
( x  .ih  (
t `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) )
19182ralbidv 2708 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
2015, 193anbi13d 1256 . . 3  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
2114, 20fvopab5 6493 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  =  ( iota u
( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) )
228, 13, 213eqtr4rd 2447 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  =  ( iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E!wreu 2668   dom cdm 4837   iotacio 5375   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501    ^m cmap 6977   ~Hchil 22375    .ih csp 22378   adjhcado 22411
This theorem is referenced by:  adjval2  23347  adjbdln  23539
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-hvsub 22427  df-adjh 23305
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