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Theorem adjval 22584
Description: Value of the adjoint function for  T in the domain of  adjh. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjval  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  =  ( iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
Distinct variable group:    x, u, y, T

Proof of Theorem adjval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 22582 . . . . 5  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
21biantrurd 494 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) ) )
3 ax-hilex 21693 . . . . . 6  |-  ~H  e.  _V
43, 3elmap 6884 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  u : ~H --> ~H )
54anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) )
6 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
72, 5, 63bitr4g 279 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
87iotabidv 5322 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( iota u ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )  =  ( iota
u ( T : ~H
--> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
9 adjeu 22583 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
101, 9syl 15 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! u  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) )
1110ibi 232 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )
12 riotaiota 6397 . . 3  |-  ( E! u  e.  ( ~H 
^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  -> 
( iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  =  ( iota u ( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
1311, 12syl 15 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  =  ( iota u
( u  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
14 dfadj2 22579 . . 3  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
15 feq1 5457 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  (
t : ~H --> ~H  <->  T : ~H
--> ~H ) )
16 fveq1 5607 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  y )  =  ( T `  y ) )
1716oveq2d 5961 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y )
) )
1817eqeq1d 2366 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
( x  .ih  (
t `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) )
19182ralbidv 2661 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
2015, 193anbi13d 1254 . . 3  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
2114, 20fvopab5 6376 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  =  ( iota u
( T : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) )
228, 13, 213eqtr4rd 2401 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  =  ( iota_ u  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E!wreu 2621   dom cdm 4771   iotacio 5299   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   iota_crio 6384    ^m cmap 6860   ~Hchil 21613    .ih csp 21616   adjhcado 21649
This theorem is referenced by:  adjval2  22585  adjbdln  22777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777  ax-his4 21778
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-2 9894  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-hvsub 21665  df-adjh 22543
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