MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Unicode version

Theorem advlog 20547
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reex 9083 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
21prid1 3914 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4 rpre 10620 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
54adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
65recnd 9116 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
7 ax-1cn 9050 . . . . 5  |-  1  e.  CC
87a1i 11 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
9 recn 9082 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
109adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
11 1re 9092 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
133dvmptid 19845 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
14 rpssre 10624 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1514a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
16 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1716tgioo2 18836 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
18 ioorp 10990 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
19 iooretop 18802 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
2018, 19eqeltrri 2509 . . . . . 6  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
2120a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
223, 10, 12, 13, 15, 17, 16, 21dvmptres 19851 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
23 relogcl 20475 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2423adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
25 peano2rem 9369 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  RR  ->  (
( log `  x
)  -  1 )  e.  RR )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  1 )  e.  RR )
2726recnd 9116 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  1 )  e.  CC )
28 rpreccl 10637 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
2928adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
3029rpcnd 10652 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
3124recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
32 dvrelog 20530 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
33 relogf1o 20466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
34 f1of 5676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
3533, 34mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
3635feqmptd 5781 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
) ) )
37 fvres 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
3837mpteq2ia 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
3936, 38syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
4039oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) ) )
4132, 40syl5reqr 2485 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
42 0cn 9086 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  CC )
447a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
4542a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
467a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
473, 46dvmptc 19846 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
483, 44, 45, 47, 15, 17, 16, 21dvmptres 19851 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
493, 31, 30, 41, 8, 43, 48dvmptsub 19855 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  /  x )  -  0 ) ) )
5030subid1d 9402 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  x )  -  0 )  =  ( 1  /  x
) )
5150mpteq2dva 4297 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  /  x )  -  0 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
5249, 51eqtrd 2470 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
533, 6, 8, 22, 27, 30, 52dvmptmul 19849 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x
)  x.  x ) ) ) )
5427mulid2d 9108 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  =  ( ( log `  x
)  -  1 ) )
55 rpne0 10629 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
5655adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
576, 56recid2d 9788 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  x )  x.  x )  =  1 )
5854, 57oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( log `  x )  -  1 )  +  1 ) )
59 npcan 9316 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  x )  -  1 )  +  1 )  =  ( log `  x
) )
6031, 7, 59sylancl 645 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x
)  -  1 )  +  1 )  =  ( log `  x
) )
6158, 60eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )  =  ( log `  x
) )
6261mpteq2dva 4297 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )
6353, 62eqtrd 2470 . 2  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
6463trud 1333 1  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   {cpr 3817    e. cmpt 4268   ran crn 4881    |` cres 4882   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119    - cmin 9293    / cdiv 9679   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   TopOpenctopn 13651   topGenctg 13667  ℂfldccnfld 16705    _D cdv 19752   logclog 20454
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  21009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
  Copyright terms: Public domain W3C validator