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Theorem advlogexp 20002
Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set  A  =  1 and multiply by  ( -u 1
) ^ N  x.  N ! to get the antiderivative of  log ( x ) ^ N itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlogexp  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem advlogexp
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
2 rpcn 10362 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
32adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x )  e.  RR+ )
54adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x
)  e.  RR+ )
65relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR )
7 elfznn0 10822 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
8 reexpcl 11120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  e.  RR )
96, 7, 8syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^
k )  e.  RR )
107adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
11 faccl 11298 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
139, 12nndivred 9794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  RR )
1413recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
151, 3, 14fsummulc2 12246 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
16 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
17 nn0uz 10262 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1816, 17syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
193adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  x  e.  CC )
2019, 14mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
21 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 ) )
22 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
0 ) )
23 fac0 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2422, 23syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  1 )
2521, 24oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
2718, 20, 26fsum1p 12218 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
286recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
2928exp0d 11239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  =  1 )
3029oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
31 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231div1i 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3330, 32syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  1 )
3433oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( x  x.  1 ) )
353mulid1d 8852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
3634, 35eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  x )
37 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
3837a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
39 nn0z 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4039ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
41 0p1e1 9839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4241oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
43 0z 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
44 fzp1ss 10837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4642, 45eqsstr3i 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4746sseli 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
4847, 20sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
49 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
50 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
5149, 50oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
5251oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5338, 38, 40, 48, 52fsumshftm 12243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5442sumeq1i 12171 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
5554a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
56 1m1e0 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5756oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( 0..^ N )
58 fzoval 10876 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
5940, 58syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6057, 59syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6160sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6253, 55, 613eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6336, 62oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6415, 27, 633eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6564mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6665oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
67 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6867prid1 3734 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6968a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
7031a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
71 recn 8827 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
7271adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
7331a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
7469dvmptid 19306 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
75 rpssre 10364 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
7675a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  C_  RR )
77 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7877tgioo2 18309 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
79 ioorp 10727 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
80 iooretop 18275 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
8179, 80eqeltrri 2354 . . . . 5  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
8281a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
8369, 72, 73, 74, 76, 78, 77, 82dvmptres 19312 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
84 fzofi 11036 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
8584a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
863adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  CC )
87 elfzouz 10879 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8887, 17syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  NN0 )
89 peano2nn0 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
9088, 89syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 11120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  (
j  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
926, 90, 91syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  e.  RR )
9390adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
94 faccl 11298 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9593, 94syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9692, 95nndivred 9794 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9796recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
9886, 97mulcld 8855 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
9985, 98fsumcl 12206 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1006, 16reexpcld 11262 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  e.  RR )
101 faccl 11298 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
102101ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
103100, 102nndivred 9794 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  RR )
104103recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )
105 subcl 9051 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 )  e.  CC )
106104, 31, 105sylancl 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 )  e.  CC )
10784a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
10898an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1091083impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
110 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  e.  RR )
1116, 88, 110syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  e.  RR )
11288adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
113 faccl 11298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 j )  e.  NN )
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
115111, 114nndivred 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  RR )
116115recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
11797, 116subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
118117an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
1191183impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
12068a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
1212adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
12231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
12383adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
12497an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
125 negex 9050 . . . . . . . 8  |-  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  e. 
_V
126125a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  _V )
127 cnex 8818 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
128127prid2 3735 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
129128a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
13028adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
131 negex 9050 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
1  /  x )  e.  _V
132131a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( 1  /  x )  e.  _V )
133 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
13488adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
135134, 89syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
136 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC )
137133, 135, 136syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  e.  CC )
138135, 94syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
139138nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
140139adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
141138nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
142141adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
143137, 140, 142divcld 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
144 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( y ^ j
)  e.  CC )
145133, 134, 144syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
j )  e.  CC )
146134, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
147146nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
148147adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
149134adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  NN0 )
150149, 113syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
151150nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  =/=  0
)
152145, 148, 151divcld 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
153 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR+ )
154 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
155153, 154relogdivd 19977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  x ) ) )
156155mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )
157156oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
158 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
159158ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
160159recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
162 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  CC )
164160adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
165162a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
166120, 160dvmptc 19307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
16775a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  C_  RR )
16881a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
169120, 164, 165, 166, 167, 78, 77, 168dvmptres 19312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
170154relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
171170recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
172154rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
173 dvrelog 19984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
174 relogf1o 19924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
175 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
176174, 175mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
177176feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
) ) )
178 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
179178mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
180177, 179syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
181180oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) ) )
182173, 181syl5reqr 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
183120, 161, 163, 169, 171, 172, 182dvmptsub 19316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
184157, 183eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
185 df-neg 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  /  x )  =  ( 0  -  ( 1  /  x
) )
186185mpteq2i 4103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  -u (
1  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x ) ) )
187184, 186syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( 1  /  x ) ) )
188 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e. 
_V
189188a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e.  _V )
190 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
191134, 190syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
192 dvexp 19302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
( j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
193191, 192syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
194129, 137, 189, 193, 139, 141dvmptdivc 19314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
195134nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  CC )
196195adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  CC )
197 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  j )
198196, 31, 197sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  - 
1 )  =  j )
199198oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) )  =  ( y ^ j ) )
200199oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ j ) ) )
201 facp1 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j )  x.  (
j  +  1 ) ) )
202149, 201syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j
)  x.  ( j  +  1 ) ) )
203 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
204196, 203syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
205148, 204mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ! `
 j )  x.  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
206202, 205eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
207200, 206oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ j ) )  /  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j ) ) ) )
208191nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
209208adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
210145, 148, 204, 151, 209divcan5d 9562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
j ) )  / 
( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j )
) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
211207, 210eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
212211mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
213194, 212eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
214 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
215214oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
216 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
j )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
217216oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
218120, 129, 130, 132, 143, 152, 187, 213, 215, 217dvmptco 19321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) ) )
219116an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
220172rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
221219, 220mulneg2d 9233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
222 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
223222adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0
)
224219, 121, 223divrecd 9539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
1  /  x ) ) )
225224negeqd 9046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
226221, 225eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) )
227226mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) ) )
228218, 227eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
) ) )
229120, 121, 122, 123, 124, 126, 228dvmptmul 19310 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) ) )
23097mulid2d 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
231 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  RR+ )
232115, 231rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  RR )
233232recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  CC )
234233, 86mulneg1d 9232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )
235223an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  =/=  0
)
236116, 86, 235divcan1d 9537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
237236negeqd 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
238234, 237eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
239230, 238oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) ) )
24097, 116negsubd 9163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
241239, 240eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
242241an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
243242mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
244229, 243eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
24578, 77, 69, 82, 107, 109, 119, 244dvmptfsum 19322 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
246 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
247 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  j ) )
248246, 247oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
249 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N ) )
250 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  N ) )
251249, 250oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
252248, 51, 25, 251, 18, 14fsumtscopo2 12261 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
25333oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
254252, 253eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
255254mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
256245, 255eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
25769, 3, 70, 83, 99, 106, 256dvmptadd 19309 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) ) )
258 pncan3 9059 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
25931, 104, 258sylancr 644 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
260259mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
26166, 257, 2603eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   ^cexp 11104   !cfa 11288   sum_csu 12158   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377    _D cdv 19213   logclog 19912
This theorem is referenced by:  logexprlim  20464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
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