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Theorem advlogexp 20113
Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set  A  =  1 and multiply by  ( -u 1
) ^ N  x.  N ! to get the antiderivative of  log ( x ) ^ N itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlogexp  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem advlogexp
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11127 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
2 rpcn 10454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
32adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4 rpdivcl 10468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x )  e.  RR+ )
54adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x
)  e.  RR+ )
65relogcld 20085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR )
7 elfznn0 10914 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
8 reexpcl 11213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  e.  RR )
96, 7, 8syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^
k )  e.  RR )
107adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
11 faccl 11391 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
139, 12nndivred 9884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  RR )
1413recnd 8951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
151, 3, 14fsummulc2 12343 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
16 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
17 nn0uz 10354 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1816, 17syl6eleq 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
193adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  x  e.  CC )
2019, 14mulcld 8945 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
21 oveq2 5953 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 ) )
22 fveq2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
0 ) )
23 fac0 11384 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2422, 23syl6eq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  1 )
2521, 24oveq12d 5963 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )
2625oveq2d 5961 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
2718, 20, 26fsum1p 12315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
286recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
2928exp0d 11332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  =  1 )
3029oveq1d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
31 ax-1cn 8885 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231div1i 9578 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3330, 32syl6eq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  1 )
3433oveq2d 5961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( x  x.  1 ) )
353mulid1d 8942 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
3634, 35eqtrd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  x )
37 1z 10145 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
3837a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
39 nn0z 10138 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4039ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
41 0p1e1 9929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4241oveq1i 5955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
43 0z 10127 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
44 fzp1ss 10929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4642, 45eqsstr3i 3285 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4746sseli 3252 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
4847, 20sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
49 oveq2 5953 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
50 fveq2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
5149, 50oveq12d 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
5251oveq2d 5961 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5338, 38, 40, 48, 52fsumshftm 12340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5442sumeq1i 12268 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
5554a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
56 1m1e0 9904 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5756oveq1i 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( 0..^ N )
58 fzoval 10968 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
5940, 58syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6057, 59syl5eqr 2404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6160sumeq1d 12271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6253, 55, 613eqtr4d 2400 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6336, 62oveq12d 5963 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6415, 27, 633eqtrd 2394 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6564mpteq2dva 4187 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6665oveq2d 5961 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
67 reex 8918 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6867prid1 3810 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6968a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
7031a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
71 recn 8917 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
7271adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
7331a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
7469dvmptid 19410 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
75 rpssre 10456 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
7675a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  C_  RR )
77 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7877tgioo2 18411 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
79 ioorp 10819 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
80 iooretop 18377 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
8179, 80eqeltrri 2429 . . . . 5  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
8281a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
8369, 72, 73, 74, 76, 78, 77, 82dvmptres 19416 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
84 fzofi 11128 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
8584a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
863adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  CC )
87 elfzouz 10971 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8887, 17syl6eleqr 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  NN0 )
89 peano2nn0 10096 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
9088, 89syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 11213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  (
j  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
926, 90, 91syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  e.  RR )
9390adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
94 faccl 11391 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9593, 94syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9692, 95nndivred 9884 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9796recnd 8951 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
9886, 97mulcld 8945 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
9985, 98fsumcl 12303 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1006, 16reexpcld 11355 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  e.  RR )
101 faccl 11391 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
102101ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
103100, 102nndivred 9884 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  RR )
104103recnd 8951 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )
105 subcl 9141 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 )  e.  CC )
106104, 31, 105sylancl 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 )  e.  CC )
10784a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
10898an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1091083impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
110 reexpcl 11213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  e.  RR )
1116, 88, 110syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  e.  RR )
11288adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
113 faccl 11391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 j )  e.  NN )
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
115111, 114nndivred 9884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  RR )
116115recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
11797, 116subcld 9247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
118117an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
1191183impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
12068a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
1212adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
12231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
12383adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
12497an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
125 negex 9140 . . . . . . . 8  |-  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  e. 
_V
126125a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  _V )
127 cnex 8908 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
128127prid2 3811 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
129128a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
13028adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
131 negex 9140 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
1  /  x )  e.  _V
132131a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( 1  /  x )  e.  _V )
133 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
13488adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
135134, 89syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
136 expcl 11214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC )
137133, 135, 136syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  e.  CC )
138135, 94syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
139138nncnd 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
140139adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
141138nnne0d 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
142141adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
143137, 140, 142divcld 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
144 expcl 11214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( y ^ j
)  e.  CC )
145133, 134, 144syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
j )  e.  CC )
146134, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
147146nncnd 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
148147adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
149134adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  NN0 )
150149, 113syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
151150nnne0d 9880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  =/=  0
)
152145, 148, 151divcld 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
153 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR+ )
154 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
155153, 154relogdivd 20088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  x ) ) )
156155mpteq2dva 4187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )
157156oveq2d 5961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
158 relogcl 20040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
159158ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
160159recnd 8951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
162 0cn 8921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  CC )
164160adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
165162a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
166120, 160dvmptc 19411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
16775a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  C_  RR )
16881a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
169120, 164, 165, 166, 167, 78, 77, 168dvmptres 19416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
170154relogcld 20085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
171170recnd 8951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
172154rpreccld 10492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
173 dvrelog 20095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
174 relogf1o 20031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
175 f1of 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
176174, 175mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
177176feqmptd 5658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
) ) )
178 fvres 5625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
179178mpteq2ia 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
180177, 179syl6eq 2406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
181180oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) ) )
182173, 181syl5reqr 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
183120, 161, 163, 169, 171, 172, 182dvmptsub 19420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
184157, 183eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
185 df-neg 9130 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  /  x )  =  ( 0  -  ( 1  /  x
) )
186185mpteq2i 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  -u (
1  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x ) ) )
187184, 186syl6eqr 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( 1  /  x ) ) )
188 ovex 5970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e. 
_V
189188a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e.  _V )
190 nn0p1nn 10095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
191134, 190syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
192 dvexp 19406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
( j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
193191, 192syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
194129, 137, 189, 193, 139, 141dvmptdivc 19418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
195134nn0cnd 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  CC )
196195adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  CC )
197 pncan 9147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  j )
198196, 31, 197sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  - 
1 )  =  j )
199198oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) )  =  ( y ^ j ) )
200199oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ j ) ) )
201 facp1 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j )  x.  (
j  +  1 ) ) )
202149, 201syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j
)  x.  ( j  +  1 ) ) )
203 peano2cn 9074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
204196, 203syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
205148, 204mulcomd 8946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ! `
 j )  x.  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
206202, 205eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
207200, 206oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ j ) )  /  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j ) ) ) )
208191nnne0d 9880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
209208adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
210145, 148, 204, 151, 209divcan5d 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
j ) )  / 
( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j )
) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
211207, 210eqtrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
212211mpteq2dva 4187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
213194, 212eqtrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
214 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
215214oveq1d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
216 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
j )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
217216oveq1d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
218120, 129, 130, 132, 143, 152, 187, 213, 215, 217dvmptco 19425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) ) )
219116an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
220172rpcnd 10484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
221219, 220mulneg2d 9323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
222 rpne0 10461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
223222adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0
)
224219, 121, 223divrecd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
1  /  x ) ) )
225224negeqd 9136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
226221, 225eqtr4d 2393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) )
227226mpteq2dva 4187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) ) )
228218, 227eqtrd 2390 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
) ) )
229120, 121, 122, 123, 124, 126, 228dvmptmul 19414 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) ) )
23097mulid2d 8943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
231 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  RR+ )
232115, 231rerpdivcld 10509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  RR )
233232recnd 8951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  CC )
234233, 86mulneg1d 9322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )
235223an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  =/=  0
)
236116, 86, 235divcan1d 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
237236negeqd 9136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
238234, 237eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
239230, 238oveq12d 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) ) )
24097, 116negsubd 9253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
241239, 240eqtrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
242241an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
243242mpteq2dva 4187 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
244229, 243eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
24578, 77, 69, 82, 107, 109, 119, 244dvmptfsum 19426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
246 oveq2 5953 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
247 fveq2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  j ) )
248246, 247oveq12d 5963 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
249 oveq2 5953 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N ) )
250 fveq2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  N ) )
251249, 250oveq12d 5963 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
252248, 51, 25, 251, 18, 14fsumtscopo2 12358 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
25333oveq2d 5961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
254252, 253eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
255254mpteq2dva 4187 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
256245, 255eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
25769, 3, 70, 83, 99, 106, 256dvmptadd 19413 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) ) )
258 pncan3 9149 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
25931, 104, 258sylancr 644 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
260259mpteq2dva 4187 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
26166, 257, 2603eqtrd 2394 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   {cpr 3717    e. cmpt 4158   ran crn 4772    |` cres 4773   -->wf 5333   -1-1-onto->wf1o 5336   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Fincfn 6951   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    +oocpnf 8954    - cmin 9127   -ucneg 9128    / cdiv 9513   NNcn 9836   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   RR+crp 10446   (,)cioo 10748   ...cfz 10874  ..^cfzo 10962   ^cexp 11197   !cfa 11381   sum_csu 12255   TopOpenctopn 13425   topGenctg 13441  ℂfldccnfld 16482    _D cdv 19317   logclog 20019
This theorem is referenced by:  logexprlim  20576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021
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