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Theorem advlogexp 20507
Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set  A  =  1 and multiply by  ( -u 1
) ^ N  x.  N ! to get the antiderivative of  log ( x ) ^ N itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlogexp  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem advlogexp
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
2 rpcn 10584 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
32adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4 rpdivcl 10598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x )  e.  RR+ )
54adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x
)  e.  RR+ )
65relogcld 20479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR )
7 elfznn0 11047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
8 reexpcl 11361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  e.  RR )
96, 7, 8syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^
k )  e.  RR )
107adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
11 faccl 11539 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
139, 12nndivred 10012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  RR )
1413recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
151, 3, 14fsummulc2 12530 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
16 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
17 nn0uz 10484 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1816, 17syl6eleq 2502 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
193adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  x  e.  CC )
2019, 14mulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
21 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 ) )
22 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
0 ) )
23 fac0 11532 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2422, 23syl6eq 2460 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  1 )
2521, 24oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )
2625oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
2718, 20, 26fsum1p 12502 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
286recnd 9078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
2928exp0d 11480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  =  1 )
3029oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
31 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231div1i 9706 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3330, 32syl6eq 2460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  1 )
3433oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( x  x.  1 ) )
353mulid1d 9069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
3634, 35eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  x )
37 1z 10275 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
39 nn0z 10268 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4039ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
41 0p1e1 10057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4241oveq1i 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
43 0z 10257 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
44 fzp1ss 11062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4642, 45eqsstr3i 3347 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4746sseli 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
4847, 20sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
49 oveq2 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
50 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
5149, 50oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
5251oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5338, 38, 40, 48, 52fsumshftm 12527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5442sumeq1i 12455 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
5554a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
56 1m1e0 10032 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5756oveq1i 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( 0..^ N )
58 fzoval 11104 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
5940, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6057, 59syl5eqr 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6160sumeq1d 12458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6253, 55, 613eqtr4d 2454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6336, 62oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6415, 27, 633eqtrd 2448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6564mpteq2dva 4263 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6665oveq2d 6064 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
67 reex 9045 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6867prid1 3880 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6968a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
7031a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
71 recn 9044 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
7271adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
7331a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
7469dvmptid 19804 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
75 rpssre 10586 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
7675a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  C_  RR )
77 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7877tgioo2 18795 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
79 ioorp 10952 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
80 iooretop 18761 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
8179, 80eqeltrri 2483 . . . . 5  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
8281a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
8369, 72, 73, 74, 76, 78, 77, 82dvmptres 19810 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
84 fzofi 11276 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
8584a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
863adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  CC )
87 elfzouz 11107 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8887, 17syl6eleqr 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  NN0 )
89 peano2nn0 10224 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
9088, 89syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 11361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  (
j  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
926, 90, 91syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  e.  RR )
9390adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
94 faccl 11539 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9593, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9692, 95nndivred 10012 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9796recnd 9078 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
9886, 97mulcld 9072 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
9985, 98fsumcl 12490 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1006, 16reexpcld 11503 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  e.  RR )
101 faccl 11539 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
102101ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
103100, 102nndivred 10012 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  RR )
104103recnd 9078 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )
105 subcl 9269 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 )  e.  CC )
106104, 31, 105sylancl 644 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 )  e.  CC )
10784a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
10898an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1091083impa 1148 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
110 reexpcl 11361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  e.  RR )
1116, 88, 110syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  e.  RR )
11288adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
113 faccl 11539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 j )  e.  NN )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
115111, 114nndivred 10012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  RR )
116115recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
11797, 116subcld 9375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
118117an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
1191183impa 1148 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
12068a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
1212adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
12231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
12383adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
12497an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
125 negex 9268 . . . . . . . 8  |-  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  _V )
127 cnex 9035 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
128127prid2 3881 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
13028adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
131 negex 9268 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
1  /  x )  e.  _V
132131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( 1  /  x )  e.  _V )
133 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
13488adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
135134, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
136 expcl 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC )
137133, 135, 136syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  e.  CC )
138135, 94syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
139138nncnd 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
140139adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
141138nnne0d 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
142141adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
143137, 140, 142divcld 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
144 expcl 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( y ^ j
)  e.  CC )
145133, 134, 144syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
j )  e.  CC )
146134, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
147146nncnd 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
148147adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
149134adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  NN0 )
150149, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
151150nnne0d 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  =/=  0
)
152145, 148, 151divcld 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
153 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR+ )
154 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
155153, 154relogdivd 20482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  x ) ) )
156155mpteq2dva 4263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )
157156oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
158 relogcl 20434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
159158ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
160159recnd 9078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
162 0cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  CC )
164160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
165162a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
166120, 160dvmptc 19805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
16775a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  C_  RR )
16881a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
169120, 164, 165, 166, 167, 78, 77, 168dvmptres 19810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
170154relogcld 20479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
171170recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
172154rpreccld 10622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
173 dvrelog 20489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
174 relogf1o 20425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
175 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
176174, 175mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
177176feqmptd 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
) ) )
178 fvres 5712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
179178mpteq2ia 4259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
180177, 179syl6eq 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
181180oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) ) )
182173, 181syl5reqr 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
183120, 161, 163, 169, 171, 172, 182dvmptsub 19814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
184157, 183eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
185 df-neg 9258 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  /  x )  =  ( 0  -  ( 1  /  x
) )
186185mpteq2i 4260 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  -u (
1  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x ) ) )
187184, 186syl6eqr 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( 1  /  x ) ) )
188 ovex 6073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e. 
_V
189188a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e.  _V )
190 nn0p1nn 10223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
191134, 190syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
192 dvexp 19800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
( j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
194129, 137, 189, 193, 139, 141dvmptdivc 19812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
195134nn0cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  CC )
196195adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  CC )
197 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  j )
198196, 31, 197sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  - 
1 )  =  j )
199198oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) )  =  ( y ^ j ) )
200199oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ j ) ) )
201 facp1 11534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j )  x.  (
j  +  1 ) ) )
202149, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j
)  x.  ( j  +  1 ) ) )
203 peano2cn 9202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
204196, 203syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
205148, 204mulcomd 9073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ! `
 j )  x.  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
206202, 205eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
207200, 206oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ j ) )  /  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j ) ) ) )
208191nnne0d 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
209208adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
210145, 148, 204, 151, 209divcan5d 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
j ) )  / 
( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j )
) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
211207, 210eqtrd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
212211mpteq2dva 4263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
213194, 212eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
214 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
215214oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
216 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
j )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
217216oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
218120, 129, 130, 132, 143, 152, 187, 213, 215, 217dvmptco 19819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) ) )
219116an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
220172rpcnd 10614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
221219, 220mulneg2d 9451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
222 rpne0 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
223222adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0
)
224219, 121, 223divrecd 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
1  /  x ) ) )
225224negeqd 9264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
226221, 225eqtr4d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) )
227226mpteq2dva 4263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) ) )
228218, 227eqtrd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
) ) )
229120, 121, 122, 123, 124, 126, 228dvmptmul 19808 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) ) )
23097mulid2d 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
231 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  RR+ )
232115, 231rerpdivcld 10639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  RR )
233232recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  CC )
234233, 86mulneg1d 9450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )
235223an32s 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  =/=  0
)
236116, 86, 235divcan1d 9755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
237236negeqd 9264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
238234, 237eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
239230, 238oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) ) )
24097, 116negsubd 9381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
241239, 240eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
242241an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
243242mpteq2dva 4263 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
244229, 243eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
24578, 77, 69, 82, 107, 109, 119, 244dvmptfsum 19820 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
246 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
247 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  j ) )
248246, 247oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
249 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N ) )
250 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  N ) )
251249, 250oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
252248, 51, 25, 251, 18, 14fsumtscopo2 12545 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
25333oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
254252, 253eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
255254mpteq2dva 4263 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
256245, 255eqtrd 2444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
25769, 3, 70, 83, 99, 106, 256dvmptadd 19807 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) ) )
258 pncan3 9277 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
25931, 104, 258sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
260259mpteq2dva 4263 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
26166, 257, 2603eqtrd 2448 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   {cpr 3783    e. cmpt 4234   ran crn 4846    |` cres 4847   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    +oocpnf 9081    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   (,)cioo 10880   ...cfz 11007  ..^cfzo 11098   ^cexp 11345   !cfa 11529   sum_csu 12442   TopOpenctopn 13612   topGenctg 13628  ℂfldccnfld 16666    _D cdv 19711   logclog 20413
This theorem is referenced by:  logexprlim  20970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-cmp 17412  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415
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