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Theorem advlogexp 20551
Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set  A  =  1 and multiply by  ( -u 1
) ^ N  x.  N ! to get the antiderivative of  log ( x ) ^ N itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlogexp  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem advlogexp
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11317 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
2 rpcn 10625 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
32adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4 rpdivcl 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x )  e.  RR+ )
54adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  /  x
)  e.  RR+ )
65relogcld 20523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR )
7 elfznn0 11088 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
8 reexpcl 11403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  e.  RR )
96, 7, 8syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^
k )  e.  RR )
107adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
11 faccl 11581 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
139, 12nndivred 10053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  RR )
1413recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
151, 3, 14fsummulc2 12572 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
16 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
17 nn0uz 10525 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1816, 17syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
193adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  x  e.  CC )
2019, 14mulcld 9113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
21 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 ) )
22 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
0 ) )
23 fac0 11574 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2422, 23syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  1 )
2521, 24oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )
2625oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
2718, 20, 26fsum1p 12544 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
286recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
2928exp0d 11522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  =  1 )
3029oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
31 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231div1i 9747 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3330, 32syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 )  =  1 )
3433oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( x  x.  1 ) )
353mulid1d 9110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
3634, 35eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  x )
37 1z 10316 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
39 nn0z 10309 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4039ad2antlr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
41 0p1e1 10098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4241oveq1i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
43 0z 10298 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
44 fzp1ss 11103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4642, 45eqsstr3i 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4746sseli 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
4847, 20sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  CC )
49 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
50 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
5149, 50oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
5251oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5338, 38, 40, 48, 52fsumshftm 12569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
5442sumeq1i 12497 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
5554a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
56 1m1e0 10073 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5756oveq1i 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( 0..^ N )
58 fzoval 11146 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
5940, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  -  1 )..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6057, 59syl5eqr 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  =  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6160sumeq1d 12500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6253, 55, 613eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
6336, 62oveq12d 6102 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ 0 )  /  1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6415, 27, 633eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
6564mpteq2dva 4298 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6665oveq2d 6100 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
67 reex 9086 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6867prid1 3914 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6968a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
7031a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
71 recn 9085 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
7271adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
7331a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
7469dvmptid 19848 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
75 rpssre 10627 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
7675a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  C_  RR )
77 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7877tgioo2 18839 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
79 ioorp 10993 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
80 iooretop 18805 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
8179, 80eqeltrri 2509 . . . . 5  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
8281a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
8369, 72, 73, 74, 76, 78, 77, 82dvmptres 19854 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
84 fzofi 11318 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
8584a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
863adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  CC )
87 elfzouz 11149 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8887, 17syl6eleqr 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  j  e.  NN0 )
89 peano2nn0 10265 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
9088, 89syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ N )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 11403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  (
j  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
926, 90, 91syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  e.  RR )
9390adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
94 faccl 11581 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9593, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
9692, 95nndivred 10053 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9796recnd 9119 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
9886, 97mulcld 9113 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
9985, 98fsumcl 12532 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1006, 16reexpcld 11545 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  e.  RR )
101 faccl 11581 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
102101ad2antlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
103100, 102nndivred 10053 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  RR )
104103recnd 9119 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )
105 subcl 9310 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 )  e.  CC )
106104, 31, 105sylancl 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 )  e.  CC )
10784a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0..^ N )  e. 
Fin )
10898an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1091083impa 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  x.  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
110 reexpcl 11403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  ( A  /  x ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  e.  RR )
1116, 88, 110syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  e.  RR )
11288adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
113 faccl 11581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 j )  e.  NN )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
115111, 114nndivred 10053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  RR )
116115recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
11797, 116subcld 9416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
118117an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
1191183impa 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  e.  CC )
12068a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
1212adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
12231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
12383adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
12497an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
125 negex 9309 . . . . . . . 8  |-  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  _V )
127 cnex 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
128127prid2 3915 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
13028adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  e.  CC )
131 negex 9309 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
1  /  x )  e.  _V
132131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( 1  /  x )  e.  _V )
133 id 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
13488adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  NN0 )
135134, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN0 )
136 expcl 11404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC )
137133, 135, 136syl2anr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  e.  CC )
138135, 94syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
139138nncnd 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
140139adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
141138nnne0d 10049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
142141adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =/=  0
)
143137, 140, 142divcld 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
144 expcl 11404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( y ^ j
)  e.  CC )
145133, 134, 144syl2anr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
j )  e.  CC )
146134, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
147146nncnd 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
148147adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
149134adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  NN0 )
150149, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
151150nnne0d 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  j )  =/=  0
)
152145, 148, 151divcld 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
153 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR+ )
154 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
155153, 154relogdivd 20526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( A  /  x ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  x ) ) )
156155mpteq2dva 4298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )
157156oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
158 relogcl 20478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
159158ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
160159recnd 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
161160adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
162 0cn 9089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  CC )
164160adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
165162a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
166120, 160dvmptc 19849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
16775a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  C_  RR )
16881a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
169120, 164, 165, 166, 167, 78, 77, 168dvmptres 19854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  A ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
170154relogcld 20523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
171170recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
172154rpreccld 10663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
173 dvrelog 20533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
174 relogf1o 20469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
175 f1of 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
176174, 175mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
177176feqmptd 5782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
) ) )
178 fvres 5748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
179178mpteq2ia 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
180177, 179syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
181180oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) ) )
182173, 181syl5reqr 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
183120, 161, 163, 169, 171, 172, 182dvmptsub 19858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  A )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
184157, 183eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x
) ) ) )
185 df-neg 9299 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
1  /  x )  =  ( 0  -  ( 1  /  x
) )
186185mpteq2i 4295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  -u (
1  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  ( 1  /  x ) ) )
187184, 186syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  ( A  /  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( 1  /  x ) ) )
188 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e. 
_V
189188a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e.  _V )
190 nn0p1nn 10264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
191134, 190syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
192 dvexp 19844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
( j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
194129, 137, 189, 193, 139, 141dvmptdivc 19856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
195134nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  j  e.  CC )
196195adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  j  e.  CC )
197 pncan 9316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  j )
198196, 31, 197sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  - 
1 )  =  j )
199198oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) )  =  ( y ^ j ) )
200199oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ (
( j  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^ j ) ) )
201 facp1 11576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j )  x.  (
j  +  1 ) ) )
202149, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `  j
)  x.  ( j  +  1 ) ) )
203 peano2cn 9243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
204196, 203syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
205148, 204mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ! `
 j )  x.  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
206202, 205eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `
 j ) ) )
207200, 206oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  x.  (
y ^ j ) )  /  ( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j ) ) ) )
208191nnne0d 10049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
209208adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0
)
210145, 148, 204, 151, 209divcan5d 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
j ) )  / 
( ( j  +  1 )  x.  ( ! `  j )
) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
211207, 210eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( y ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
212211mpteq2dva 4298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( j  +  1 )  x.  ( y ^
( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
213194, 212eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
( j  +  1 ) )  /  ( ! `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
214 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
( j  +  1 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) ) )
215214oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
216 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( y ^
j )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
217216oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( log `  ( A  /  x ) )  ->  ( ( y ^ j )  / 
( ! `  j
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
218120, 129, 130, 132, 143, 152, 187, 213, 215, 217dvmptco 19863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) ) )
219116an32s 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
220172rpcnd 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
221219, 220mulneg2d 9492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
222 rpne0 10632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
223222adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0
)
224219, 121, 223divrecd 9798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
1  /  x ) ) )
225224negeqd 9305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
226221, 225eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) )  =  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) )
227226mpteq2dva 4298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  -u (
1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x ) ) )
228218, 227eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
) ) )
229120, 121, 122, 123, 124, 126, 228dvmptmul 19852 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) ) )
23097mulid2d 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )
231 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  RR+ )
232115, 231rerpdivcld 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  RR )
233232recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  e.  CC )
234233, 86mulneg1d 9491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )
235223an32s 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  =/=  0
)
236116, 86, 235divcan1d 9796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
237236negeqd 9305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -u ( ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
238234, 237eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u (
( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  /  x )  x.  x )  =  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
239230, 238oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) ) )
24097, 116negsubd 9422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  +  -u ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
241239, 240eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
242241an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )
243242mpteq2dva 4298 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) )  +  ( -u ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) )  /  x
)  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
244229, 243eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  j  e.  (
0..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
24578, 77, 69, 82, 107, 109, 119, 244dvmptfsum 19864 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) ) )
246 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j ) )
247 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  j ) )
248246, 247oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
249 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  =  ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N ) )
250 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  N ) )
251249, 250oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
252248, 51, 25, 251, 18, 14fsumtscopo2 12587 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) ) )
25333oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ 0 )  / 
1 ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
254252, 253eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ (
j  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( j  +  1 ) ) )  -  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )  =  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) )
255254mpteq2dva 4298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) )  -  (
( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
256245, 255eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )
25769, 3, 70, 83, 99, 106, 256dvmptadd 19851 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  +  sum_ j  e.  ( 0..^ N ) ( x  x.  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ ( j  +  1 ) )  / 
( ! `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) ) )
258 pncan3 9318 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
25931, 104, 258sylancr 646 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) ) )
260259mpteq2dva 4298 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  +  ( ( ( ( log `  ( A  /  x ) ) ^ N )  / 
( ! `  N
) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
26166, 257, 2603eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  ( A  /  x
) ) ^ N
)  /  ( ! `
 N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817    e. cmpt 4269   ran crn 4882    |` cres 4883   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    +oocpnf 9122    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140   ^cexp 11387   !cfa 11571   sum_csu 12484   TopOpenctopn 13654   topGenctg 13670  ℂfldccnfld 16708    _D cdv 19755   logclog 20457
This theorem is referenced by:  logexprlim  21014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459
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