Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  afvco2 Unicode version

Theorem afvco2 27907
Description: Value of a function composition, analogous to fvco2 5757. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvco2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )

Proof of Theorem afvco2
StepHypRef Expression
1 fvco2 5757 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
3 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( G `  X
)  e.  dom  F
)
4 df-fn 5416 . . . . . . . . 9  |-  ( G  Fn  A  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  A ) )
5 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  G )
6 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  dom  G  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
76eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
87biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
98adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
109imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  X  e.  dom  G )
115, 10jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
124, 11sylanb 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
1312adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
14 dmfco 5756 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
163, 15mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )
17 funcoressn 27858 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
18 df-dfat 27841 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
19 afvfundmfveq 27869 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `
 X ) )
2018, 19sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `  X ) )
2116, 17, 20syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G
) `  X )
)
22 df-dfat 27841 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  <->  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) ) )
23 afvfundmfveq 27869 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2422, 23sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2524adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( F''' ( G `  X
) )  =  ( F `  ( G `
 X ) ) )
262, 21, 253eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
27 ianor 475 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  <->  ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
2814funfni 5504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
2928bicomd 193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  e.  dom  F  <-> 
X  e.  dom  ( F  o.  G )
) )
3029notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  <->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G
) ) )
3130biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  ->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G ) ) )
32 ndmafv 27871 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3331, 32syl6com 33 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( G `  X
)  e.  dom  F  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
34 funressnfv 27859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3534ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
36 afvnfundmuv 27870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( F  o.  G
) defAt  X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3718, 36sylnbir 299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3835, 37nsyl4 136 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
3938com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
4039con1d 118 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4140com12 29 . . . . . . 7  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
)''' X )  =  _V ) )
4233, 41jaoi 369 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4327, 42sylbi 188 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V ) )
4443imp 419 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
45 afvnfundmuv 27870 . . . . . . 7  |-  ( -.  F defAt  ( G `  X )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  _V )
4622, 45sylnbir 299 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  _V )
4746eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4847adantr 452 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4944, 48eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X ) ) )
5026, 49pm2.61ian 766 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
51 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  F  =  F )
524, 9sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G ) )
5352imp 419 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  dom  G
)
54 fnfun 5501 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
55 funres 5451 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5654, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5756adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
58 df-dfat 27841 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X }
) ) )
59 afvfundmfveq 27869 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  ->  ( G''' X )  =  ( G `
 X ) )
6058, 59sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X } ) )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6153, 57, 60syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6261eqcomd 2409 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G `  X
)  =  ( G''' X ) )
6351, 62afveq12d 27864 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
6450, 63eqtrd 2436 1  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774   dom cdm 4837    |` cres 4839    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   defAt wdfat 27838  '''cafv 27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421  df-dfat 27841  df-afv 27842
  Copyright terms: Public domain W3C validator