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Theorem afvco2 28037
Description: Value of a function composition, analogous to fvco2 5594. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvco2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )

Proof of Theorem afvco2
StepHypRef Expression
1 fvco2 5594 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
3 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( G `  X
)  e.  dom  F
)
4 df-fn 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( G  Fn  A  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  A ) )
5 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  G )
6 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  dom  G  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
76eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
87biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
98adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
109imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  X  e.  dom  G )
115, 10jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
124, 11sylanb 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
14 dmfco 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
163, 15mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )
17 funcoressn 27990 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
18 df-dfat 27974 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
19 afvfundmfveq 28001 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `
 X ) )
2018, 19sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `  X ) )
2116, 17, 20syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G
) `  X )
)
22 df-dfat 27974 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  <->  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) ) )
23 afvfundmfveq 28001 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2422, 23sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2524adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( F''' ( G `  X
) )  =  ( F `  ( G `
 X ) ) )
262, 21, 253eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
27 ianor 474 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  <->  ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
2814funfni 5344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
2928bicomd 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  e.  dom  F  <-> 
X  e.  dom  ( F  o.  G )
) )
3029notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  <->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G
) ) )
3130biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  ->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G ) ) )
32 ndmafv 28003 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3331, 32syl6com 31 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( G `  X
)  e.  dom  F  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
34 funressnfv 27991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
36 afvnfundmuv 28002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( F  o.  G
) defAt  X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3718, 36sylnbir 298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3835, 37nsyl4 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
3938com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
4039con1d 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4140com12 27 . . . . . . 7  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
)''' X )  =  _V ) )
4233, 41jaoi 368 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4327, 42sylbi 187 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V ) )
4443imp 418 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
45 afvnfundmuv 28002 . . . . . . 7  |-  ( -.  F defAt  ( G `  X )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  _V )
4622, 45sylnbir 298 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  _V )
4746eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4847adantr 451 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4944, 48eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X ) ) )
5026, 49pm2.61ian 765 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
51 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  F  =  F )
524, 9sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G ) )
5352imp 418 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  dom  G
)
54 fnfun 5341 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
55 funres 5293 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5654, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5756adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
58 df-dfat 27974 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X }
) ) )
59 afvfundmfveq 28001 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  ->  ( G''' X )  =  ( G `
 X ) )
6058, 59sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X } ) )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6153, 57, 60syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6261eqcomd 2288 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G `  X
)  =  ( G''' X ) )
6351, 62afveq12d 27996 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
6450, 63eqtrd 2315 1  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   defAt wdfat 27971  '''cafv 27972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-dfat 27974  df-afv 27975
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