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Theorem afvres 28012
Description: The value of a restricted function, analogous to fvres 5745. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvres  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )

Proof of Theorem afvres
StepHypRef Expression
1 elin 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  i^i  dom 
F )  <->  ( A  e.  B  /\  A  e. 
dom  F ) )
21biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  A  e.  ( B  i^i  dom  F
) )
3 dmres 5167 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
42, 3syl6eleqr 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  A  e.  dom  ( F  |`  B ) )
54ex 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  dom  F  ->  A  e.  dom  ( F  |`  B ) ) )
6 snssi 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
7 resabs1 5175 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  B  ->  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } ) )
98eqcomd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( F  |`  { A }
)  =  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )
109funeqd 5475 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
1110biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) )
125, 11anim12d 547 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) ) )
1312impcom 420 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) )
14 df-dfat 27950 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  B ) defAt  A  <-> 
( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
15 afvfundmfveq 27978 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  B ) defAt  A  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
1614, 15sylbir 205 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) )  -> 
( ( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
1713, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
18 fvres 5745 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 A )  =  ( F `  A
) )
1918adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 A )  =  ( F `  A
) )
20 df-dfat 27950 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
21 afvfundmfveq 27978 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
2220, 21sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
2322eqcomd 2441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F `  A )  =  ( F''' A ) )
2423adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( F `  A )  =  ( F''' A ) )
2517, 19, 243eqtrd 2472 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
26 pm3.4 545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
271, 26sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  i^i  dom 
F )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
2827, 3eleq2s 2528 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
2928com12 29 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  ->  A  e.  dom  F ) )
308funeqd 5475 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  <->  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
3130biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
3229, 31anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  (
( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
3332con3d 127 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) ) )
3433impcom 420 . . . 4  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
35 afvnfundmuv 27979 . . . . 5  |-  ( -.  ( F  |`  B ) defAt 
A  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  _V )
3614, 35sylnbir 299 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  _V )
3734, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  _V )
38 afvnfundmuv 27979 . . . . . 6  |-  ( -.  F defAt  A  ->  ( F''' A )  =  _V )
3920, 38sylnbir 299 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  _V )
4039eqcomd 2441 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  _V  =  ( F''' A ) )
4140adantr 452 . . 3  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  _V  =  ( F''' A ) )
4237, 41eqtrd 2468 . 2  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
4325, 42pm2.61ian 766 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   dom cdm 4878    |` cres 4880   Fun wfun 5448   ` cfv 5454   defAt wdfat 27947  '''cafv 27948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-res 4890  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-dfat 27950  df-afv 27951
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