MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajfuni Unicode version

Theorem ajfuni 22318
Description: The adjoint function is a function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfuni.5  |-  A  =  ( U adj W
)
ajfuni.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ajfuni.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
ajfuni  |-  Fun  A

Proof of Theorem ajfuni
Dummy variables  t 
s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab 5449 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) }  <->  A. t E* s ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) ) )
2 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
3 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( .i
OLD `  U )  =  ( .i OLD `  U )
4 ajfuni.u . . . . 5  |-  U  e.  CPreHil
OLD
52, 3, 4ajmoi 22317 . . . 4  |-  E* s
( s : (
BaseSet `  W ) --> (
BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) )
6 3simpc 956 . . . . 5  |-  ( ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) )  ->  ( s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) )
76moimi 2305 . . . 4  |-  ( E* s ( s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) )  ->  E* s ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) ) )
85, 7ax-mp 8 . . 3  |-  E* s
( t : (
BaseSet `  U ) --> (
BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) )
91, 8mpgbir 1556 . 2  |-  Fun  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) ) }
104phnvi 22274 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
11 ajfuni.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
13 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( .i
OLD `  W )  =  ( .i OLD `  W )
14 ajfuni.5 . . . . 5  |-  A  =  ( U adj W
)
152, 12, 3, 13, 14ajfval 22267 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) } )
1610, 11, 15mp2an 654 . . 3  |-  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) }
1716funeqi 5437 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  Fun  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) ) } )
189, 17mpbir 201 1  |-  Fun  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2259   A.wral 2670   {copab 4229   Fun wfun 5411   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   NrmCVeccnv 22020   BaseSetcba 22022   .i
OLDcdip 22153   adjcaj 22206   CPreHil OLDccphlo 22270
This theorem is referenced by:  ajfun  22319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-t1 17336  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037  df-dip 22154  df-aj 22208  df-ph 22271
  Copyright terms: Public domain W3C validator