MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajfuni Unicode version

Theorem ajfuni 21751
Description: The adjoint function is a function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfuni.5  |-  A  =  ( U adj W
)
ajfuni.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ajfuni.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
ajfuni  |-  Fun  A

Proof of Theorem ajfuni
Dummy variables  t 
s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab 5390 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) }  <->  A. t E* s ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) ) )
2 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
3 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( .i
OLD `  U )  =  ( .i OLD `  U )
4 ajfuni.u . . . . 5  |-  U  e.  CPreHil
OLD
52, 3, 4ajmoi 21750 . . . 4  |-  E* s
( s : (
BaseSet `  W ) --> (
BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) )
6 3simpc 955 . . . . 5  |-  ( ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) )  ->  ( s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) )
76moimi 2264 . . . 4  |-  ( E* s ( s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) )  ->  E* s ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) ) )
85, 7ax-mp 8 . . 3  |-  E* s
( t : (
BaseSet `  U ) --> (
BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) )
91, 8mpgbir 1555 . 2  |-  Fun  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) ) }
104phnvi 21707 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
11 ajfuni.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
13 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( .i
OLD `  W )  =  ( .i OLD `  W )
14 ajfuni.5 . . . . 5  |-  A  =  ( U adj W
)
152, 12, 3, 13, 14ajfval 21700 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) } )
1610, 11, 15mp2an 653 . . 3  |-  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) }
1716funeqi 5378 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  Fun  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) ) } )
189, 17mpbir 200 1  |-  Fun  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   E*wmo 2218   A.wral 2628   {copab 4178   Fun wfun 5352   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   NrmCVeccnv 21453   BaseSetcba 21455   .i
OLDcdip 21586   adjcaj 21639   CPreHil OLDccphlo 21703
This theorem is referenced by:  ajfun  21752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-t1 17259  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-grpo 21169  df-gid 21170  df-ginv 21171  df-gdiv 21172  df-ablo 21260  df-vc 21415  df-nv 21461  df-va 21464  df-ba 21465  df-sm 21466  df-0v 21467  df-vs 21468  df-nmcv 21469  df-ims 21470  df-dip 21587  df-aj 21641  df-ph 21704
  Copyright terms: Public domain W3C validator