MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajfuni Structured version   Unicode version

Theorem ajfuni 22399
Description: The adjoint function is a function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfuni.5  |-  A  =  ( U adj W
)
ajfuni.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ajfuni.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
ajfuni  |-  Fun  A

Proof of Theorem ajfuni
Dummy variables  t 
s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab 5521 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) }  <->  A. t E* s ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) ) )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .i
OLD `  U )  =  ( .i OLD `  U )
4 ajfuni.u . . . . 5  |-  U  e.  CPreHil
OLD
52, 3, 4ajmoi 22398 . . . 4  |-  E* s
( s : (
BaseSet `  W ) --> (
BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) )
6 3simpc 957 . . . . 5  |-  ( ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) )  ->  ( s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) )
76moimi 2335 . . . 4  |-  ( E* s ( s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) )  ->  E* s ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) ) )
85, 7ax-mp 5 . . 3  |-  E* s
( t : (
BaseSet `  U ) --> (
BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) )
91, 8mpgbir 1560 . 2  |-  Fun  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  W )
y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) ( s `
 y ) ) ) }
104phnvi 22355 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
11 ajfuni.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
13 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .i
OLD `  W )  =  ( .i OLD `  W )
14 ajfuni.5 . . . . 5  |-  A  =  ( U adj W
)
152, 12, 3, 13, 14ajfval 22348 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) } )
1610, 11, 15mp2an 655 . . 3  |-  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  s :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  W
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  U )
( s `  y
) ) ) }
1716funeqi 5509 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  Fun  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  s : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  U
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet
`  W ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  W ) y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) ( s `  y ) ) ) } )
189, 17mpbir 202 1  |-  Fun  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   E*wmo 2289   A.wral 2712   {copab 4296   Fun wfun 5483   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   NrmCVeccnv 22101   BaseSetcba 22103   .i
OLDcdip 22234   adjcaj 22287   CPreHil OLDccphlo 22351
This theorem is referenced by:  ajfun  22400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-ixp 7100  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-ioo 10958  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-sum 12518  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-hom 13591  df-cco 13592  df-rest 13688  df-topn 13689  df-topgen 13705  df-pt 13706  df-prds 13709  df-xrs 13764  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-qtop 13771  df-imas 13772  df-xps 13774  df-mre 13849  df-mrc 13850  df-acs 13852  df-mnd 14728  df-submnd 14777  df-mulg 14853  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-cnfld 16742  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-cld 17121  df-ntr 17122  df-cls 17123  df-cn 17329  df-cnp 17330  df-t1 17416  df-haus 17417  df-tx 17632  df-hmeo 17825  df-xms 18388  df-ms 18389  df-tms 18390  df-grpo 21817  df-gid 21818  df-ginv 21819  df-gdiv 21820  df-ablo 21908  df-vc 22063  df-nv 22109  df-va 22112  df-ba 22113  df-sm 22114  df-0v 22115  df-vs 22116  df-nmcv 22117  df-ims 22118  df-dip 22235  df-aj 22289  df-ph 22352
  Copyright terms: Public domain W3C validator