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Theorem ajfval 21387
Description: The adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajfval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajfval.3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ajfval.4  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
ajfval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajfval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, U    W, s,
t, x, y    X, s, t, x    Y, s, t, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, t, s)    P( x, y, t, s)    Q( x, y, t, s)    X( y)    Y( x)

Proof of Theorem ajfval
Dummy variables  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ajfval.5 . 2  |-  A  =  ( U adj W
)
2 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  ( BaseSet `  U )
)
3 ajfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
42, 3syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  X )
54feq2d 5380 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> ( BaseSet `  w )
) )
6 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  w )
)
76, 4feq23d 5386 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> ( BaseSet `  u )  <->  s :
( BaseSet `  w ) --> X ) )
8 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( .i OLD `  u )  =  ( .i OLD `  U ) )
9 ajfval.3 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
108, 9syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  ( .i OLD `  u )  =  P )
1110oveqd 5875 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
x ( .i OLD `  u ) ( s `
 y ) )  =  ( x P ( s `  y
) ) )
1211eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x ( .i OLD `  u ) ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
1312ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) )  <->  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
144, 13raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  u ) A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  u )
( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
155, 7, 143anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( t : (
BaseSet `  u ) --> (
BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) ) )
1615opabbidv 4082 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) } )
17 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  X  =  X )
18 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  W )
)
19 ajfval.2 . . . . . . 7  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2018, 19syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  Y )
2117, 20feq23d 5386 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> Y ) )
2220feq2d 5380 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> X  <->  s : Y
--> X ) )
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( .i OLD `  w )  =  ( .i OLD `  W ) )
24 ajfval.4 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
2523, 24syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( .i OLD `  w )  =  Q )
2625oveqd 5875 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( ( t `
 x ) Q y ) )
2726eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2820, 27raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2928ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
3021, 22, 293anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
3130opabbidv 4082 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
32 df-aj 21328 . . 3  |-  adj  =  ( u  e.  NrmCVec ,  w  e.  NrmCVec  |->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) ) } )
33 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
34 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( X  ^m  Y )  e. 
_V
3533, 34xpex 4801 . . . 4  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  e. 
_V
36 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
3719, 36eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  Y  e. 
_V
38 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
393, 38eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
_V
4037, 39elmap 6796 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  <->  t : X
--> Y )
4139, 37elmap 6796 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( X  ^m  Y )  <->  s : Y
--> X )
4240, 41anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X ) )
4342biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X )  ->  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
44433adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  -> 
( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
4544ssopab2i 4292 . . . . 5  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  { <. t ,  s >.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
46 df-xp 4695 . . . . 5  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
4745, 46sseqtr4i 3211 . . . 4  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y
) )
4835, 47ssexi 4159 . . 3  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  e.  _V
4916, 31, 32, 48ovmpt2 5983 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U adj W )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
501, 49syl5eq 2327 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   {copab 4076    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   .i
OLDcdip 21273   adjcaj 21326
This theorem is referenced by:  ajfuni  21438  ajval  21440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-aj 21328
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