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Theorem ajfval 21403
Description: The adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajfval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajfval.3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ajfval.4  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
ajfval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajfval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, U    W, s,
t, x, y    X, s, t, x    Y, s, t, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, t, s)    P( x, y, t, s)    Q( x, y, t, s)    X( y)    Y( x)

Proof of Theorem ajfval
Dummy variables  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ajfval.5 . 2  |-  A  =  ( U adj W
)
2 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  ( BaseSet `  U )
)
3 ajfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
42, 3syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  X )
54feq2d 5396 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> ( BaseSet `  w )
) )
6 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  w )
)
76, 4feq23d 5402 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> ( BaseSet `  u )  <->  s :
( BaseSet `  w ) --> X ) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( .i OLD `  u )  =  ( .i OLD `  U ) )
9 ajfval.3 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
108, 9syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  ( .i OLD `  u )  =  P )
1110oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
x ( .i OLD `  u ) ( s `
 y ) )  =  ( x P ( s `  y
) ) )
1211eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x ( .i OLD `  u ) ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
1312ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) )  <->  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
144, 13raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  u ) A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  u )
( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
155, 7, 143anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( t : (
BaseSet `  u ) --> (
BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) ) )
1615opabbidv 4098 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) } )
17 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  X  =  X )
18 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  W )
)
19 ajfval.2 . . . . . . 7  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2018, 19syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  Y )
2117, 20feq23d 5402 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> Y ) )
2220feq2d 5396 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> X  <->  s : Y
--> X ) )
23 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( .i OLD `  w )  =  ( .i OLD `  W ) )
24 ajfval.4 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
2523, 24syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( .i OLD `  w )  =  Q )
2625oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( ( t `
 x ) Q y ) )
2726eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2820, 27raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2928ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
3021, 22, 293anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
3130opabbidv 4098 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
32 df-aj 21344 . . 3  |-  adj  =  ( u  e.  NrmCVec ,  w  e.  NrmCVec  |->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) ) } )
33 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
34 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( X  ^m  Y )  e. 
_V
3533, 34xpex 4817 . . . 4  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  e. 
_V
36 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
3719, 36eqeltri 2366 . . . . . . . . . 10  |-  Y  e. 
_V
38 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
393, 38eqeltri 2366 . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
_V
4037, 39elmap 6812 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  <->  t : X
--> Y )
4139, 37elmap 6812 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( X  ^m  Y )  <->  s : Y
--> X )
4240, 41anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X ) )
4342biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X )  ->  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
44433adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  -> 
( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
4544ssopab2i 4308 . . . . 5  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  { <. t ,  s >.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
46 df-xp 4711 . . . . 5  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
4745, 46sseqtr4i 3224 . . . 4  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y
) )
4835, 47ssexi 4175 . . 3  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  e.  _V
4916, 31, 32, 48ovmpt2 5999 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U adj W )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
501, 49syl5eq 2340 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {copab 4092    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   .i
OLDcdip 21289   adjcaj 21342
This theorem is referenced by:  ajfuni  21454  ajval  21456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-aj 21344
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