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Theorem ajfval 22310
Description: The adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajfval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajfval.3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ajfval.4  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
ajfval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajfval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, U    W, s,
t, x, y    X, s, t, x    Y, s, t, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, t, s)    P( x, y, t, s)    Q( x, y, t, s)    X( y)    Y( x)

Proof of Theorem ajfval
Dummy variables  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ajfval.5 . 2  |-  A  =  ( U adj W
)
2 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  ( BaseSet `  U )
)
3 ajfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
42, 3syl6eqr 2486 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  X )
54feq2d 5581 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> ( BaseSet `  w )
) )
6 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  w )
)
76, 4feq23d 5588 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> ( BaseSet `  u )  <->  s :
( BaseSet `  w ) --> X ) )
8 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( .i OLD `  u )  =  ( .i OLD `  U ) )
9 ajfval.3 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
108, 9syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  ( .i OLD `  u )  =  P )
1110oveqd 6098 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
x ( .i OLD `  u ) ( s `
 y ) )  =  ( x P ( s `  y
) ) )
1211eqeq2d 2447 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x ( .i OLD `  u ) ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
1312ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) )  <->  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
144, 13raleqbidv 2916 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  u ) A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x ( .i
OLD `  u )
( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
155, 7, 143anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( t : (
BaseSet `  u ) --> (
BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) ) )
1615opabbidv 4271 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) } )
17 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  X  =  X )
18 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  W )
)
19 ajfval.2 . . . . . . 7  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2018, 19syl6eqr 2486 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  Y )
2117, 20feq23d 5588 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> Y ) )
2220feq2d 5581 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> X  <->  s : Y
--> X ) )
23 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( .i OLD `  w )  =  ( .i OLD `  W ) )
24 ajfval.4 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
2523, 24syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( .i OLD `  w )  =  Q )
2625oveqd 6098 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( ( t `
 x ) Q y ) )
2726eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( t `  x ) ( .i
OLD `  w )
y )  =  ( x P ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2820, 27raleqbidv 2916 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2928ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
3021, 22, 293anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
3130opabbidv 4271 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .i OLD `  w
) y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
32 df-aj 22251 . . 3  |-  adj  =  ( u  e.  NrmCVec ,  w  e.  NrmCVec  |->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .i OLD `  w ) y )  =  ( x ( .i OLD `  u
) ( s `  y ) ) ) } )
33 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
34 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( X  ^m  Y )  e. 
_V
3533, 34xpex 4990 . . . 4  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  e. 
_V
36 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
3719, 36eqeltri 2506 . . . . . . . . . 10  |-  Y  e. 
_V
38 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
393, 38eqeltri 2506 . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
_V
4037, 39elmap 7042 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  <->  t : X
--> Y )
4139, 37elmap 7042 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( X  ^m  Y )  <->  s : Y
--> X )
4240, 41anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X ) )
4342biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X )  ->  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
44433adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  -> 
( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
4544ssopab2i 4482 . . . . 5  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  { <. t ,  s >.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
46 df-xp 4884 . . . . 5  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
4745, 46sseqtr4i 3381 . . . 4  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y
) )
4835, 47ssexi 4348 . . 3  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  e.  _V
4916, 31, 32, 48ovmpt2 6209 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U adj W )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
501, 49syl5eq 2480 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   {copab 4265    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   .i
OLDcdip 22196   adjcaj 22249
This theorem is referenced by:  ajfuni  22361  ajval  22363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-aj 22251
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