MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajmoi Unicode version

Theorem ajmoi 21453
Description: Every operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip2eqi.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip2eqi.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ajmoi  |-  E* s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )
Distinct variable groups:    x, s, P    Q, s    x, y, s, T    x, U    X, s, x, y    Y, s, x, y
Allowed substitution hints:    P( y)    Q( x, y)    U( y, s)

Proof of Theorem ajmoi
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 2689 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  <-> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( t `
 y ) ) ) )
2 eqtr2 2314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  ->  ( x P ( s `  y
) )  =  ( x P ( t `
 y ) ) )
32ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  ->  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) ) )
43ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) ) )
51, 4sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) ) )
6 ip2eqi.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip2eqi.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
8 ip2eqi.u . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
96, 7, 8phoeqi 21452 . . . . . 6  |-  ( ( s : Y --> X  /\  t : Y --> X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) )  <->  s  =  t ) )
109biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( ( s : Y --> X  /\  t : Y --> X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
x P ( s `
 y ) )  =  ( x P ( t `  y
) ) )  -> 
s  =  t )
115, 10sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( s : Y --> X  /\  t : Y --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) ) )  ->  s  =  t )
1211an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  /\  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) ) )  ->  s  =  t )
1312gen2 1537 . 2  |-  A. s A. t ( ( ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  /\  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( t `
 y ) ) ) )  ->  s  =  t )
14 feq1 5391 . . . 4  |-  ( s  =  t  ->  (
s : Y --> X  <->  t : Y
--> X ) )
15 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
s `  y )  =  ( t `  y ) )
1615oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
x P ( s `
 y ) )  =  ( x P ( t `  y
) ) )
1716eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) ) )
18172ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( s  =  t  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) ) )
1914, 18anbi12d 691 . . 3  |-  ( s  =  t  ->  (
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  <->  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) ) ) )
2019mo4 2189 . 2  |-  ( E* s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  A. s A. t ( ( ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  /\  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( t `
 y ) ) ) )  ->  s  =  t ) )
2113, 20mpbir 200 1  |-  E* s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   E*wmo 2157   A.wral 2556   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   BaseSetcba 21158   .i OLDcdip 21289   CPreHil OLDccphlo 21406
This theorem is referenced by:  ajfuni  21454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-t1 17058  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-ph 21407
  Copyright terms: Public domain W3C validator