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Theorem ajval 21456
Description: Value of the adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajval.3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ajval.4  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
ajval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajval  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, T    U, s, x, y    W, s, x, y    X, s, x, y    Y, s, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, s)    P( x, y, s)    Q( x, y, s)    Y( x)

Proof of Theorem ajval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 21408 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 ajval.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ajval.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
4 ajval.3 . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
5 ajval.4 . . . . . 6  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
6 ajval.5 . . . . . 6  |-  A  =  ( U adj W
)
72, 3, 4, 5, 6ajfval 21403 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
81, 7sylan 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
98fveq1d 5543 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
1093adant3 975 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
11 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
122, 11eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
13 fex 5765 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  X  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
1412, 13mpan2 652 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  T  e.  _V )
15 eqid 2296 . . . . . 6  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }
16 feq1 5391 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
t : X --> Y  <->  T : X
--> Y ) )
17 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  x )  =  ( T `  x ) )
1817oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( t `  x
) Q y )  =  ( ( T `
 x ) Q y ) )
1918eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
20192ralbidv 2598 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2116, 203anbi13d 1254 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  <->  ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2215, 21fvopab5 6305 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  ( { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2314, 22syl 15 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
24 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( T : X --> Y  /\  (
s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2524baib 871 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2625iotabidv 5256 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) )  =  ( iota s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) ) )
2723, 26eqtrd 2328 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
28273ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2910, 28eqtrd 2328 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {copab 4092   iotacio 5233   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   .i
OLDcdip 21289   adjcaj 21342   CPreHil OLDccphlo 21406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-aj 21344  df-ph 21407
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