MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajval Unicode version

Theorem ajval 21440
Description: Value of the adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajval.3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ajval.4  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
ajval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajval  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, T    U, s, x, y    W, s, x, y    X, s, x, y    Y, s, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, s)    P( x, y, s)    Q( x, y, s)    Y( x)

Proof of Theorem ajval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 21392 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 ajval.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ajval.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
4 ajval.3 . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
5 ajval.4 . . . . . 6  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
6 ajval.5 . . . . . 6  |-  A  =  ( U adj W
)
72, 3, 4, 5, 6ajfval 21387 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
81, 7sylan 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
98fveq1d 5527 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
1093adant3 975 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
11 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
122, 11eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
13 fex 5749 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  X  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
1412, 13mpan2 652 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  T  e.  _V )
15 eqid 2283 . . . . . 6  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }
16 feq1 5375 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
t : X --> Y  <->  T : X
--> Y ) )
17 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  x )  =  ( T `  x ) )
1817oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( t `  x
) Q y )  =  ( ( T `
 x ) Q y ) )
1918eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
20192ralbidv 2585 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2116, 203anbi13d 1254 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  <->  ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2215, 21fvopab5 6289 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  ( { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2314, 22syl 15 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
24 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( T : X --> Y  /\  (
s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2524baib 871 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2625iotabidv 5240 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) )  =  ( iota s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) ) )
2723, 26eqtrd 2315 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
28273ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2910, 28eqtrd 2315 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   {copab 4076   iotacio 5217   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   .i
OLDcdip 21273   adjcaj 21326   CPreHil OLDccphlo 21390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-aj 21328  df-ph 21391
  Copyright terms: Public domain W3C validator