MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajval Structured version   Unicode version

Theorem ajval 22365
Description: Value of the adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajval.3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ajval.4  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
ajval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajval  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, T    U, s, x, y    W, s, x, y    X, s, x, y    Y, s, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, s)    P( x, y, s)    Q( x, y, s)    Y( x)

Proof of Theorem ajval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 22317 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 ajval.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ajval.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
4 ajval.3 . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
5 ajval.4 . . . . . 6  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
6 ajval.5 . . . . . 6  |-  A  =  ( U adj W
)
72, 3, 4, 5, 6ajfval 22312 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
81, 7sylan 459 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
98fveq1d 5732 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
1093adant3 978 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
11 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
122, 11eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
13 fex 5971 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  X  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
1412, 13mpan2 654 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  T  e.  _V )
15 eqid 2438 . . . . . 6  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }
16 feq1 5578 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
t : X --> Y  <->  T : X
--> Y ) )
17 fveq1 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  x )  =  ( T `  x ) )
1817oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( t `  x
) Q y )  =  ( ( T `
 x ) Q y ) )
1918eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
20192ralbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2116, 203anbi13d 1257 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  <->  ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2215, 21fvopab5 6536 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  ( { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2314, 22syl 16 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
24 3anass 941 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( T : X --> Y  /\  (
s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2524baib 873 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2625iotabidv 5441 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) )  =  ( iota s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) ) )
2723, 26eqtrd 2470 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
28273ad2ant3 981 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2910, 28eqtrd 2470 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   {copab 4267   iotacio 5418   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   NrmCVeccnv 22065   BaseSetcba 22067   .i
OLDcdip 22198   adjcaj 22251   CPreHil OLDccphlo 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-aj 22253  df-ph 22316
  Copyright terms: Public domain W3C validator