MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1irr Unicode version

Theorem aleph1irr 12524
Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1irr  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )

Proof of Theorem aleph1irr
StepHypRef Expression
1 aleph1re 12523 . 2  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
2 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
3 numth3 8097 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  RR  e.  dom  card )
42, 3ax-mp 8 . . . 4  |-  RR  e.  dom  card
5 nnenom 11042 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
65ensymi 6911 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
7 ruc 12521 . . . . . 6  |-  NN  ~<  RR
8 ensdomtr 6997 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  om  ~<  RR )
96, 7, 8mp2an 653 . . . . 5  |-  om  ~<  RR
10 sdomdom 6889 . . . . 5  |-  ( om 
~<  RR  ->  om  ~<_  RR )
119, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  om  ~<_  RR
12 resdomq 12522 . . . 4  |-  QQ  ~<  RR
13 infdif 7835 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  RR  /\  QQ  ~<  RR )  ->  ( RR  \  QQ )  ~~  RR )
144, 11, 12, 13mp3an 1277 . . 3  |-  ( RR 
\  QQ )  ~~  RR
1514ensymi 6911 . 2  |-  RR  ~~  ( RR  \  QQ )
16 domentr 6920 . 2  |-  ( ( ( aleph `  1o )  ~<_  RR  /\  RR  ~~  ( RR  \  QQ ) )  ->  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR  \  QQ ) )
171, 15, 16mp2an 653 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   class class class wbr 4023   omcom 4656   dom cdm 4689   ` cfv 5255   1oc1o 6472    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   cardccrd 7568   alephcale 7569   RRcr 8736   NNcn 9746   QQcq 10316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-har 7272  df-card 7572  df-aleph 7573  df-acn 7575  df-ac 7743  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-fz 10783  df-seq 11047
  Copyright terms: Public domain W3C validator