MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1irr Structured version   Unicode version

Theorem aleph1irr 12845
Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1irr  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )

Proof of Theorem aleph1irr
StepHypRef Expression
1 aleph1re 12844 . 2  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
2 reex 9081 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
3 numth3 8350 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  RR  e.  dom  card )
42, 3ax-mp 8 . . . 4  |-  RR  e.  dom  card
5 nnenom 11319 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
65ensymi 7157 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
7 ruc 12842 . . . . . 6  |-  NN  ~<  RR
8 ensdomtr 7243 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  om  ~<  RR )
96, 7, 8mp2an 654 . . . . 5  |-  om  ~<  RR
10 sdomdom 7135 . . . . 5  |-  ( om 
~<  RR  ->  om  ~<_  RR )
119, 10ax-mp 8 . . . 4  |-  om  ~<_  RR
12 resdomq 12843 . . . 4  |-  QQ  ~<  RR
13 infdif 8089 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  RR  /\  QQ  ~<  RR )  ->  ( RR  \  QQ )  ~~  RR )
144, 11, 12, 13mp3an 1279 . . 3  |-  ( RR 
\  QQ )  ~~  RR
1514ensymi 7157 . 2  |-  RR  ~~  ( RR  \  QQ )
16 domentr 7166 . 2  |-  ( ( ( aleph `  1o )  ~<_  RR  /\  RR  ~~  ( RR  \  QQ ) )  ->  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR  \  QQ ) )
171, 15, 16mp2an 654 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   class class class wbr 4212   omcom 4845   dom cdm 4878   ` cfv 5454   1oc1o 6717    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   cardccrd 7822   alephcale 7823   RRcr 8989   NNcn 10000   QQcq 10574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-har 7526  df-card 7826  df-aleph 7827  df-acn 7829  df-ac 7997  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-fz 11044  df-seq 11324
  Copyright terms: Public domain W3C validator