Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephcard Unicode version

Theorem alephcard 7697
 Description: Every aleph is a cardinal number. Theorem 65 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephcard

Proof of Theorem alephcard
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5
21fveq2d 5529 . . . 4
32, 1eqeq12d 2297 . . 3
4 fveq2 5525 . . . . 5
54fveq2d 5529 . . . 4
65, 4eqeq12d 2297 . . 3
7 fveq2 5525 . . . . 5
87fveq2d 5529 . . . 4
98, 7eqeq12d 2297 . . 3
10 fveq2 5525 . . . . 5
1110fveq2d 5529 . . . 4
1211, 10eqeq12d 2297 . . 3
13 cardom 7619 . . . 4
14 aleph0 7693 . . . . 5
1514fveq2i 5528 . . . 4
1613, 15, 143eqtr4i 2313 . . 3
17 harcard 7611 . . . . 5 har har
18 alephsuc 7695 . . . . . 6 har
1918fveq2d 5529 . . . . 5 har
2017, 19, 183eqtr4a 2341 . . . 4
2120a1d 22 . . 3
22 vex 2791 . . . . . . 7
23 cardiun 7615 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 8 . . . . . 6
2524adantl 452 . . . . 5
26 alephlim 7694 . . . . . . . 8
2722, 26mpan 651 . . . . . . 7
2827adantr 451 . . . . . 6
2928fveq2d 5529 . . . . 5
3025, 29, 283eqtr4d 2325 . . . 4
3130ex 423 . . 3
323, 6, 9, 12, 16, 21, 31tfinds 4650 . 2
33 card0 7591 . . 3
34 alephfnon 7692 . . . . . . 7
35 fndm 5343 . . . . . . 7
3634, 35ax-mp 8 . . . . . 6
3736eleq2i 2347 . . . . 5
38 ndmfv 5552 . . . . 5
3937, 38sylnbir 298 . . . 4
4039fveq2d 5529 . . 3
4133, 40, 393eqtr4a 2341 . 2
4232, 41pm2.61i 156 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788  c0 3455  ciun 3905  con0 4392   wlim 4393   csuc 4394  com 4656   cdm 4689   wfn 5250  cfv 5255  harchar 7270  ccrd 7568  cale 7569 This theorem is referenced by:  alephnbtwn2  7699  alephord2  7703  alephsuc2  7707  alephislim  7710  alephsdom  7713  cardaleph  7716  cardalephex  7717  alephval3  7737  alephval2  8194  alephsuc3  8202  alephreg  8204  pwcfsdom  8205 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-card 7572  df-aleph 7573
 Copyright terms: Public domain W3C validator