Theorem alephexp1 7586

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3738	. . 3 |- (aleph` A) e. V
2		fvex 3738	. . 3 |- (aleph` B) e. V
3	1, 2	infmap1 7574	. 2 |- (((2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)) /\ (aleph` A) ~<_ (aleph` B)) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))
4		alephgeom 4893	. . . . . 6 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
5		ssdom2g 4415	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
7	4, 6	sylbi 199	. . . . 5 |- (A e. On -> om ~<_ (aleph` A))
8		2onn 4260	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
9		nnsdom 4645	. . . . . . . 8 |- (2o e. om -> 2o ~< om)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 2o ~< om
11		sdomdom 4392	. . . . . . 7 |- (2o ~< om -> 2o ~<_ om)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 2o ~<_ om
13		domtr 4421	. . . . . 6 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ (aleph` A)) -> 2o ~<_ (aleph` A))
14	12, 13	mpan 697	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` A) -> 2o ~<_ (aleph` A))
15	7, 14	syl 10	. . . 4 |- (A e. On -> 2o ~<_ (aleph` A))
16		alephgeom 4893	. . . . 5 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
17		ssdom2g 4415	. . . . . 6 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
19	16, 18	sylbi 199	. . . 4 |- (B e. On -> om ~<_ (aleph` B))
20	15, 19	anim12i 333	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
21	20	adantr 391	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
22		alephord3 4889	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (aleph` A) (_ (aleph` B)))
23		ssdomg 4414	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
24	1, 23	ax-mp 7	. . . 4 |- ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
25	22, 24	syl6bi 214	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
26	25	imp 350	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
27	3, 21, 26	sylanc 473	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  Oncon0 2954  omcom 3137  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  2oc2o 4135   ^m cm 4328   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372  alephcale 4824

This theorem is referenced by:  alephexp2 7588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-iso 3205  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-2o 4140  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-card 4826  df-aleph 4827  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain