MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfplem2 Structured version   Unicode version

Theorem alephfplem2 7976
Description: Lemma for alephfp 7979. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1  |-  H  =  ( rec ( aleph ,  om )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
alephfplem2  |-  ( w  e.  om  ->  ( H `  suc  w )  =  ( aleph `  ( H `  w )
) )
Distinct variable group:    w, H

Proof of Theorem alephfplem2
StepHypRef Expression
1 frsuc 6686 . 2  |-  ( w  e.  om  ->  (
( rec ( aleph ,  om )  |`  om ) `  suc  w )  =  ( aleph `  ( ( rec ( aleph ,  om )  |` 
om ) `  w
) ) )
2 alephfplem.1 . . 3  |-  H  =  ( rec ( aleph ,  om )  |`  om )
32fveq1i 5721 . 2  |-  ( H `
 suc  w )  =  ( ( rec ( aleph ,  om )  |` 
om ) `  suc  w )
42fveq1i 5721 . . 3  |-  ( H `
 w )  =  ( ( rec ( aleph ,  om )  |`  om ) `  w )
54fveq2i 5723 . 2  |-  ( aleph `  ( H `  w
) )  =  (
aleph `  ( ( rec ( aleph ,  om )  |` 
om ) `  w
) )
61, 3, 53eqtr4g 2492 1  |-  ( w  e.  om  ->  ( H `  suc  w )  =  ( aleph `  ( H `  w )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   suc csuc 4575   omcom 4837    |` cres 4872   ` cfv 5446   reccrdg 6659   alephcale 7813
This theorem is referenced by:  alephfplem3  7977  alephfp  7979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
  Copyright terms: Public domain W3C validator