MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Unicode version

Theorem alephgeom 7709
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 7693 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3483 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 4445 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 7705 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 202 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3223 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 4675 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 4665 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 4444 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 322 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 199 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5552 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3206 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 294 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 122 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 7692 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5343 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 8 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2373 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 180 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   Ord word 4391   Oncon0 4392   omcom 4656   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   alephcale 7569
This theorem is referenced by:  alephislim  7710  cardalephex  7717  isinfcard  7719  alephval3  7737  alephval2  8194  alephadd  8199  alephmul  8200  alephexp1  8201  alephsuc3  8202  alephexp2  8203  alephreg  8204  pwcfsdom  8205  cfpwsdom  8206  gchaleph  8297  gchaleph2  8298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-card 7572  df-aleph 7573
  Copyright terms: Public domain W3C validator