Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephinit Structured version   Unicode version

Theorem alephinit 7968
 Description: An infinite initial ordinal is characterized by the property of being initial - that is, it is a subset of any dominating ordinal. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
alephinit
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem alephinit
StepHypRef Expression
1 isinfcard 7965 . . . . 5
21bicomi 194 . . . 4
32baib 872 . . 3
5 onenon 7828 . . . . . . . 8
65adantr 452 . . . . . . 7
7 onenon 7828 . . . . . . 7
8 carddom2 7856 . . . . . . 7
96, 7, 8syl2an 464 . . . . . 6
10 cardonle 7836 . . . . . . . 8
1110adantl 453 . . . . . . 7
12 sstr 3348 . . . . . . . 8
1312expcom 425 . . . . . . 7
1411, 13syl 16 . . . . . 6
159, 14sylbird 227 . . . . 5
16 sseq1 3361 . . . . . 6
1716imbi2d 308 . . . . 5
1815, 17syl5ibcom 212 . . . 4
1918ralrimdva 2788 . . 3
20 oncardid 7835 . . . . . . 7
21 ensym 7148 . . . . . . 7
22 endom 7126 . . . . . . 7
2320, 21, 223syl 19 . . . . . 6
2423adantr 452 . . . . 5
25 cardon 7823 . . . . . 6
26 breq2 4208 . . . . . . . 8
27 sseq2 3362 . . . . . . . 8
2826, 27imbi12d 312 . . . . . . 7
2928rspcv 3040 . . . . . 6
3025, 29ax-mp 8 . . . . 5
3124, 30syl5com 28 . . . 4
32 cardonle 7836 . . . . . . 7
3332adantr 452 . . . . . 6
3433biantrurd 495 . . . . 5
35 eqss 3355 . . . . 5
3634, 35syl6bbr 255 . . . 4
3731, 36sylibd 206 . . 3
3819, 37impbid 184 . 2
394, 38bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312   class class class wbr 4204  con0 4573  com 4837   cdm 4870   crn 4871  cfv 5446   cen 7098   cdom 7099  ccrd 7814  cale 7815 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-har 7518  df-card 7818  df-aleph 7819
 Copyright terms: Public domain W3C validator